Διασκεδαστικά Μαθηματικά : Λόγος τμημάτων [2]

Σάββατο 14 Ιανουαρίου 2023

Έστω το $ABC$ τυχόν τρίγωνο. Έστω $D, E$ σημείa επί της πλευράς $BC$ τέτοια ώστε

$BD=DE=EC$.

Έστω $F$ το μέσο της πλευράς $AC$. Η διάμεσος $BF$ τέμνει το $AD$ στο $P$ και το $AE$ στο σημείο $Q$.

Να προσδιορίσετε τον λόγο $\dfrac{BP}{PQ}$.

CRMO-2012

kfd14 Ιανουαρίου 2023 στις 11:26 μ.μ.
ΑD=1/2(AB+AE)=1/2AB+1/4(AD+AC)<=>AD=2/3AB+1/3AC
BΡ=λBF<=>AΡ-ΑΒ=λ/2(BA+BC)<=>ρAD-AB=-λΑΒ+λ/2AC<=>ρ(2/3ΑΒ+1/3ΑC)-AB+λΑΒ-λ/2AC=0<=>(2ρ/3-1+λ)ΑΒ+(ρ/3-λ/2)AC=0<=>...<=>λ=1/2 με την μη συγγραμμικότητα των πλευρών. Άρα Ρ μέσο BF κι επειδή από το 1) ΒQ=4/5BF=8/5BΡ<=>ΒΡ=5/8(ΡQ-ΡΒ)<=>...<=>ΒΡ=5/3ΡQ.
ΑπάντησηΔιαγραφή
Απαντήσεις