Τετάρτη 18 Ιανουαρίου 2023

Ανά τρεις [1]

Αν
$abc + bcd + cda = 36$
$bcd + cda + dab = 54$
$cda + dab + abc = 60$
$dab + abc + bcd = 66$
να υπολογιστεί το άθροισμα 
$a + b + c + d$.

4 σχόλια:

  1. Με πρόσθεση κ.μ. των εξισώσεων, παίρνουμε:
    abc+bcd+cda+dab=72 (1)
    Με αφαίρεση κ.μ κάθε αρχικής εξίσωσης από την (1), παίρνουμε:
    dab=36=2^2*3^2
    abc=18=2*3^2
    bcd=12=2^2*3
    cda=6=2*3
    Με πολλαπλασιασμό κ.μ των πιο πάνω παίρνουμε:
    (abcd)^3=2^6*3^6 => abcd=2^2*3^2=36 (2)
    ΜΕ διαίρεση κ.μ. της (2) με κάθε μερικό γινόμενο, παίρνουμε:
    a=3, b=6, c=1, d=2, επομένως:
    a+b+c+d=12

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Τελικά, το βραβείο το πήρες εσύ Θανάση. Δεν άφησες το Μιχάλη να προσπαθήσει. 😀😀😀😀😀

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Η λύση ήταν πολύ απλή και πολύ αναλυτική για να χωρέσει στο περιθώριο που διαθέτει ο Μιχάλης, άσε που είχε και 4 μεταβλητές..😉

      Διαγραφή
  3. abc+bcd+cda=36
    bcd+cda+dab=54
    cda+dab+abc=60
    dab+abc+bcd=66
    Προσθέτουμε κατά μέλη τις ανωτέρω εξισώσεις:
    3*(abc+bcd+cda+dab=216 (5)
    Διαιρούμε με το 3 και τα δύο μέλη της εξίσωσης (5) κι' έχουμε:
    abc+bcd+cda+dab=72 (6)
    Αντικαθιστούμε τις εξισώσεις (1), (2), (3), και (4) στη (5) κι' έχουμε:
    dab+36=72 ===> dab=72-36 ===> dab=36 (7)
    abc+54=72 ===> abc=72-54 ===> abc=18 (8)
    bcd+60=72 ===> bcd=72-60 ===> bcd=12 (9)
    cda+66=72 ===> cda=72-66 ===> cda=6 (10)
    Πολλαπλασιάζουμε κατά μέλη τις (7), (8), (9) και (10). Θα βρούμε:
    dab*abc*bcd*cda=36*18*12*6
    dab*abc*bcd*cda=46.656
    (abcd)^3 = 6^6.
    Άρα abcd = 36 (*).
    Διαιρούμε τώρα την (*) με την (7). Θα βρούμε c=1.
    'Ομοια, διαιρούμε την (*) με την (8). Θα βρούμε d=2.
    Όμοια διαιρούμε την (*) με την (9). Θα βρούμε a=3
    Όμοια διαιρούμε την (*) με την (10). Θα βρούμε b=6.
    Άρα:
    a+b+c+d=? ===3+6+1+2=12

    ΑπάντησηΔιαγραφή