Ένα κανονικό πολύγωνο $13$ πλευρών εγγράφεται σε κύκλο με κέντρο το $Ο$. Τρίγωνα μπορούν να σχηματιστούν ενώνοντας τρεις κορυφές αυτού του πολυγώνου.
Πόσα από τα τρίγωνα που μπορούν να σχηματιστούν με αυτόν τον τρόπο θα περιέχουν το σημείο $Ο$ στο εσωτερικό τους;
A) $72$ B) $85$ C) $91$ D) $100$ E) άλλο
International Contest MATH KANGAROO, 2013
Θα χαρώ αν κάποιος φίλος εξηγήσει αναλυτικά την πιο πάνω απάντηση. Μιχάλη, το 'χεις ξανακάνει, τι λες;😉
ΑπάντησηΔιαγραφήΦέρουμε την ευθεία που συνδέει μια κορυφή Α του 13-γώνου με το Ο. Η ευθεία αυτή αφήνει από τη μια πλευρά της τις 6 και από την άλλη πλευρά της τις άλλες 6 από τις υπόλοιπες κορυφές του 13-γώνου. Ονομάζουμε Β1, Β2, … , Β6 και Γ1, Γ2, … , Γ6 αντιστοίχως τις κορυφές αυτές κατά αύξουσα σειρά απόστασης από την κορυφή Α. Γίνεται πλέον αντιληπτό ότι κανένα από τα τρίγωνα ΑΒiΒj ή ΑΓiΓj δεν περιέχει στο εσωτερικό του το Ο, ενώ για να περιέχει ένα τρίγωνο ΑΒiΓj στο εσωτερικό του το Ο, πρέπει και αρκεί να είναι i+j > 6. Επομένως τα τρίγωνα που έχουν μία κορυφή την Α και περιέχουν το Κ στο εσωτερικό τους είναι 1+2+…+6= 21.
ΑπάντησηΔιαγραφήΑν κάνουμε το αντίστοιχο για όλες τις κορυφές του 13-γώνου στη θέση της Α, θα έχουμε 13*21 = 273 τρίγωνα, καθένα από τα οποία όμως έχει μετρηθεί 3 φορές.
Επομένως, το πλήθος των ζητούμενων τριγώνων είναι 273/3 = 91
Ο, όπου Κ..
Διαγραφή