Πέμπτη 19 Ιανουαρίου 2023

Κανονικό 13 - γωνο

Ένα κανονικό πολύγωνο $13$ πλευρών εγγράφεται σε κύκλο με κέντρο το $Ο$. Τρίγωνα μπορούν να σχηματιστούν ενώνοντας τρεις κορυφές αυτού του πολυγώνου. 
Πόσα από τα τρίγωνα που μπορούν να σχηματιστούν με αυτόν τον τρόπο θα περιέχουν το σημείο $Ο$ στο εσωτερικό τους; 
A) $72$      B) $85$      C) $91$      D) $100$      E) άλλο
International Contest MATH KANGAROO, 2013

3 σχόλια:

  1. Θα χαρώ αν κάποιος φίλος εξηγήσει αναλυτικά την πιο πάνω απάντηση. Μιχάλη, το 'χεις ξανακάνει, τι λες;😉

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Φέρουμε την ευθεία που συνδέει μια κορυφή Α του 13-γώνου με το Ο. Η ευθεία αυτή αφήνει από τη μια πλευρά της τις 6 και από την άλλη πλευρά της τις άλλες 6 από τις υπόλοιπες κορυφές του 13-γώνου. Ονομάζουμε Β1, Β2, … , Β6 και Γ1, Γ2, … , Γ6 αντιστοίχως τις κορυφές αυτές κατά αύξουσα σειρά απόστασης από την κορυφή Α. Γίνεται πλέον αντιληπτό ότι κανένα από τα τρίγωνα ΑΒiΒj ή ΑΓiΓj δεν περιέχει στο εσωτερικό του το Ο, ενώ για να περιέχει ένα τρίγωνο ΑΒiΓj στο εσωτερικό του το Ο, πρέπει και αρκεί να είναι i+j > 6. Επομένως τα τρίγωνα που έχουν μία κορυφή την Α και περιέχουν το Κ στο εσωτερικό τους είναι 1+2+…+6= 21.
    Αν κάνουμε το αντίστοιχο για όλες τις κορυφές του 13-γώνου στη θέση της Α, θα έχουμε 13*21 = 273 τρίγωνα, καθένα από τα οποία όμως έχει μετρηθεί 3 φορές.
    Επομένως, το πλήθος των ζητούμενων τριγώνων είναι 273/3 = 91

    ΑπάντησηΔιαγραφή