Τρίτη 20 Δεκεμβρίου 2022

Πλήθος ριζών

Να βρεθεί το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης
$$χ^{2023} + χ^{223} + χ^{203} + χ^{23} + χ^{3} + χ=2023$$
Αναρτήθηκε από στις 20.12.22
Ετικέτες

1 σχόλιο:

  1. Μαρίνος Ματιάτος20 Δεκεμβρίου 2022 στις 11:31 π.μ.

    Θεωρούμε την συνάρτηση
    h(x)= x^2023+x^223+x^203+x^23+x^3+x
    H συνάρτηση αυτή ορίζεται και είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R.
    Έχουμε:
    h'(x) 2023 x^2022+ 223 x^222+ 203 x^202 + 23 x^ 22 + 3 x^2 +1 > 0 για κάθε x που ανήκει στο R.
    Συνεπώς η συνάρτηση h είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο R,συνεπώς και 1-1.
    Το πεδίο τιμών της είναι :
    ( όριο h(x) με x τείνει στο - άπειρο, όριο h(x) με x τείνει στο + άπειρο) = (- άπειρο, + άπειρο) = R.
    Το 2023 ανήκει στο R δηλαδή στο πεδίο τιμών της συνάρτησης h.
    Συνεπώς υπάρχει ένα και μοναδικό x0 (επειδή h 1-1) τέτοιο ώστε : h(x0) = 2023.
    Άρα η εξίσωση έχει μια πραγματική λύση.

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)