Θεωρούμε την συνάρτηση h(x)= x^2023+x^223+x^203+x^23+x^3+x H συνάρτηση αυτή ορίζεται και είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R. Έχουμε: h'(x) 2023 x^2022+ 223 x^222+ 203 x^202 + 23 x^ 22 + 3 x^2 +1 > 0 για κάθε x που ανήκει στο R. Συνεπώς η συνάρτηση h είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο R,συνεπώς και 1-1. Το πεδίο τιμών της είναι : ( όριο h(x) με x τείνει στο - άπειρο, όριο h(x) με x τείνει στο + άπειρο) = (- άπειρο, + άπειρο) = R. Το 2023 ανήκει στο R δηλαδή στο πεδίο τιμών της συνάρτησης h. Συνεπώς υπάρχει ένα και μοναδικό x0 (επειδή h 1-1) τέτοιο ώστε : h(x0) = 2023. Άρα η εξίσωση έχει μια πραγματική λύση.
Θεωρούμε την συνάρτηση
ΑπάντησηΔιαγραφήh(x)= x^2023+x^223+x^203+x^23+x^3+x
H συνάρτηση αυτή ορίζεται και είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R.
Έχουμε:
h'(x) 2023 x^2022+ 223 x^222+ 203 x^202 + 23 x^ 22 + 3 x^2 +1 > 0 για κάθε x που ανήκει στο R.
Συνεπώς η συνάρτηση h είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο R,συνεπώς και 1-1.
Το πεδίο τιμών της είναι :
( όριο h(x) με x τείνει στο - άπειρο, όριο h(x) με x τείνει στο + άπειρο) = (- άπειρο, + άπειρο) = R.
Το 2023 ανήκει στο R δηλαδή στο πεδίο τιμών της συνάρτησης h.
Συνεπώς υπάρχει ένα και μοναδικό x0 (επειδή h 1-1) τέτοιο ώστε : h(x0) = 2023.
Άρα η εξίσωση έχει μια πραγματική λύση.