Τρίτη 20 Δεκεμβρίου 2022

Δύσκολο γεωμετρικό πρόβλημα

Στο παρακάτω εξάγωνο οι πλευρές είναι ίσες και οι απέναντι πλευρές του παράλληλες.
Οι αποστάσεις μεταξύ των απέναντι πλευρών του είναι σημειωμένες στο σχήμα.
Να βρεθεί το εμβαδόν του εξαγώνου.
Αναρτήθηκε από στις 20.12.22
Ετικέτες ,

1 σχόλιο:

  1. papadim26 Δεκεμβρίου 2022 στις 12:54 μ.μ.

    Έστω χ το μήκος κάθε πλευράς του εξαγώνου.
    Κάθε ζευγάρι παράλληλων πλευρών του εξαγώνου ορίζει ένα παραλληλόγραμμο, του οποίου οι άλλες δύο πλευρές (διαγώνιες του εξαγώνου) χωρίζουν το εξάγωνο σε τρεις περιοχές, από τις οποίες η μία είναι το ίδιο το παραλληλόγραμμο και οι άλλες δύο είναι δύο ίσα ισοσκελή τρίγωνα με τα ίσα σκέλη μήκους χ. Επομένως το εμβαδό Ε του εξαγώνου γράφεται:
    Ε=192*χ+υ1*χ=195*χ+υ2*χ=237*χ+υ3*χ, όπου υ1, υ2, υ3 τα ύψη των ισοσκελών τριγώνων που άγονται προς τα ίσα τους σκέλη.
    Για τα ύψη αυτά ισχύουν οι σχέσεις:
    υ1+υ2=237, υ2+υ3=192, υ3+υ1=195, επομένως υ1=120, υ2=117, υ3=75
    Τα τρία ζευγάρια των ίσων ισοσκελών τριγώνων έχουν εξωτερικές γωνίες στις απέναντι από τη βάση τους κορυφές α, β και γ και ισχύουν:
    α+β+γ=180°, ημα=υ1/χ, ημβ=υ2/χ, ημγ=υ3/χ, που σημαίνει ότι τα υ1, υ2, υ3 είναι πλευρές τριγώνου με απέναντι γωνίες α, β, γ. Με εφαρμογή του νόμου συνημιτόνων στο τρίγωνο αυτό, έχουμε:
    120^2=117^2+75^2-2*117*75*συνα => συνα=7/25 => ημα=24/25=120/χ => χ=125
    Επομένως: Ε=192*125+120*125=39000

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)