Στο παρακάτω σχήμα βλέπουμε τη γραφική παράσταση της καμπύλης
$$(x^2+y^2 -2x)^2=2(x^2+y^2)$$
Ποιες από τις ευθείες $a,b,c,d$ είναι ο άξονας $y΄y$ ;
Känguru der Mathematik 2015
O κ. Κώστας Δόρτσιος μου έστειλε ένα ιστορικό σημείωμα σχετικά με την καμπύλη καθώς και μία διοφορετική λύση από αυτή του Μαρίνου Μαρτιάτου:
Η όμορφη αυτή καμπύλη λέγεται Καμπύλη Πασκάλ και είναι μια
επιτροχοειδής καμπύλη. Ειδικότερα λέγεται Limaçon trisecteur και ανήκει στον
Ètienne Pascal, ο οποίος ήταν ένας ευγενής γάλλος, πατέρας του γνωστού στους
περισσότερους Blaise Pascal.
Ο όρος Limaçon trisecteur μεταφράζεται στα ελληνικά ως κοχλίας
τριχοτόμος και σημαίνει ότι με τη βοήθεια αυτού του σχήματος πετυχαίνεται η
τριχοτόμηση μιας γωνίας, κάτι που απασχόλησε τους αρχαίους έλληνες
μαθηματικούς και βέβαια τριχοτόμηση όχι με κανόνα και διαβήτη. Όμως όλες αυτές
οι προσπάθειες γέννησαν όλο και νέες ιδέες που έφτασαν μέχρι της μέρες μας και
μας εντυπωσιάζουν. Μέσα στην κατηγορία των κοχλιών ανήκει και η γνωστή
καρδιοειδής καμπύλη.
Η αναλυτική εξίσωση του Limaçon trisecteur γενικότερα είναι η ακόλουθη:
$(x^2+y^2 -2ax)^2=b^2(x^2+y^2)$, $a, b\in R$.
Για να δείτε ολόκληρο το αρχείο, κάντε κλικ εδώ.
Αρκεί να βρούμε πόσα σημεία κοινά σημεία έχει η καμπύλη με τον άξονα y'y.
ΑπάντησηΔιαγραφήΓια να το βρούμε αυτό θέτουμε στην εξίσωση της καμπύλης x=0 και λύνουμε ως προς y.
Έχουμε λοιπόν για x=0 : y^4 = 2y^2
ισοδύναμα y^2 ( y^2 - 2)=0 ισοδύναμα y=0 ή
y= sqrt(2) ή y= - sqrt(2).
Αρά η καμπύλη έχει τρία κοινά σημεία με τον άξονα yy'.
Αυτά είναι τα : (0,0),(0, sqrt(2)), (0, - sqrt(2)).
O μοναδικός άξονας που έχει τρία κοινά σημεία με την καμπύλη είναι ο a.
Άρα ο a είναι ο άξονας y'y.