Παρασκευή 23 Σεπτεμβρίου 2022

Γινόμενο xy

Αν 
$x^2 + xy + y^2 = 84$ 
και 
$x − \sqrt{xy} + y = 6$ 
τότε $xy = ?$
α) $16$     β) $25$     γ) $36$     δ) $49$     ε) $64$

9 σχόλια:

  1. Καλημέρα!

    Και μόνο από την πρώτη εξίσωση και τις πιθανές απαντήσεις έχουμε:
    (x+y)^2=84+xy
    Άρα το δεύτερο μέλος πρέπει να είναι τέλειο τετράγωνο επομένως βολεύει μόνο το 16.

    Για την ιστορία οι λύσεις για τα x και y είναι 8 και 2 ή αντίστροφα.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. (x+y)^2-xy=84, x+y-ρ.xy=6
    w=x+y, f=ρ.xy
    w^2-f^2=84, w-f=6
    w=10, f=4 άρα f^2=16
    άρα α)

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. Και επανέρχομαι αν δεν ξέραμε τις λύσεις... (Για να μην κλέβω)

    (x+y)^2=84+xy αντικατάσταση του πρώτου μέλους από την δεύτερη εξίσωση
    (6+sqr(xy))^2=84+xy
    Βγαίνει sqr(xy)=4 άρα xy=16

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Πολύ σωστός!! Κατάλαβες ότι έκλεψες στην αρχή. 😉

      Διαγραφή
    2. Χαχαχα ναι αλλά αυτή είναι η φιλοσοφία των πολλαπλής!! Θέλει ταχύτητα και κλεψιά!!

      Αστειεύομαι βέβαια και γι'αυτό επανήλθα για να το λύσουμε και μαθηματικά!

      Διαγραφή
  4. x^2+xy+y^2=84 (1)
    x−sqrt[xy]+y=6 (2)
    Από την 2 συνάγουμε ότι:
    x-sqrt[xy]+y=6 ===> x+y=6+sqrt[xy]
    Υψώνουμε στο τετράγωνο και τα δύο μέλη κι' έχουμε:
    (x+y)^2=(6+sqrt[xy])^2
    x^2+y^2+2xy=6^2+2*6*sqrt[xy]+(sqrt[xy])^2
    x^2+y^2+2xy=36+12sqrt[xy]+xy
    x^2+y^2+2xy-xy=36+12sqrt[xy]
    x^2+y^2+xy=36+12sqrt[xy]
    Αντικαθιστούμε το πρώτο μέλος με την τιμή της (1) κι' έχουμε:
    84=36+12sqrt[xy]
    12sqrt[xy]=84-36
    12sqrt[xy]=48
    sqrt[xy]=48/12
    sqrt[xy]=4
    Υψώνουμε στο τετράγωνο και τα δύο μέλη κι' έχουμε:
    (sqrt[xy])^2=4^2
    xy=16 (3)
    Αντικαθιστούμε τη τιμή της (3) στη (2) κι' έχουμε:
    x−sqrt[xy]+y=6
    x-sqrt[16]+y=6
    x-4+y=6
    x+y=6+4
    x+y=10
    y=10-x (4)
    x=10-y (5)
    Αντικαθιστούμε τη τιμή της (3) στην (1) κι΄ έχουμε:
    x^2+xy+y^2=84
    x^2+16+y^2=84
    x^2+y^2=84-16
    x^2+y^2=68
    Αντικαθιστούμε το y με τη (4) κι' έχουμε:
    x^2+(10-χ)^2=68
    χ^2+10^2-2*10χ+χ^2=68
    χ^2+100-20χ+χ^2-68=0
    2χ^2-20χ+32=0
    Διαιρούμε δια 2 κι' έχουμε:
    χ^2-10χ+16=0
    (χ-8)*(χ-2)=0
    Εξισώνουμε την κάθε παρένθεση με το 0 κι' έχουμε:
    x-8=0 ====> x=8 (6)
    x-2=0 ====> x=2 (7)
    Άρα:
    xy=16, x=8, y=2, η y=8, x=2
    Επαλήθευση:
    (a) x^2+xy+y^2=84
    8^2+16+2^2=84
    64+16+4=84
    (b) x-sqrt[xy]+y=6
    8-sqrt[16]+2=6
    8-4+2=6

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Έτσι διδάσκονται τα μαθηματικά κύριοι, όχι πατ κιουτ.

      Διαγραφή
    2. Σωστός, αλλά πολλή πληκτρολόγηση βρε Θανάση.

      Διαγραφή
    3. Αστειεύομαι φυσικά. Μια χαρά μού φαίνονται όλες οι λύσεις!

      Διαγραφή