$x^2 + xy + y^2 = 84$
και
$x − \sqrt{xy} + y = 6$
τότε $xy = ?$
α) $16$ β) $25$ γ) $36$ δ) $49$ ε) $64$
Algebra, Geometry, International Mathematical Olympiads, Recreational Mathematics, Math contests, Puzzles, Brainteasers, Number Theory, Combinatorics, Logic, Paradox
Καλημέρα!
ΑπάντησηΔιαγραφήΚαι μόνο από την πρώτη εξίσωση και τις πιθανές απαντήσεις έχουμε:
(x+y)^2=84+xy
Άρα το δεύτερο μέλος πρέπει να είναι τέλειο τετράγωνο επομένως βολεύει μόνο το 16.
Για την ιστορία οι λύσεις για τα x και y είναι 8 και 2 ή αντίστροφα.
(x+y)^2-xy=84, x+y-ρ.xy=6
ΑπάντησηΔιαγραφήw=x+y, f=ρ.xy
w^2-f^2=84, w-f=6
w=10, f=4 άρα f^2=16
άρα α)
Και επανέρχομαι αν δεν ξέραμε τις λύσεις... (Για να μην κλέβω)
ΑπάντησηΔιαγραφή(x+y)^2=84+xy αντικατάσταση του πρώτου μέλους από την δεύτερη εξίσωση
(6+sqr(xy))^2=84+xy
Βγαίνει sqr(xy)=4 άρα xy=16
Πολύ σωστός!! Κατάλαβες ότι έκλεψες στην αρχή. 😉
ΔιαγραφήΧαχαχα ναι αλλά αυτή είναι η φιλοσοφία των πολλαπλής!! Θέλει ταχύτητα και κλεψιά!!
ΔιαγραφήΑστειεύομαι βέβαια και γι'αυτό επανήλθα για να το λύσουμε και μαθηματικά!
x^2+xy+y^2=84 (1)
ΑπάντησηΔιαγραφήx−sqrt[xy]+y=6 (2)
Από την 2 συνάγουμε ότι:
x-sqrt[xy]+y=6 ===> x+y=6+sqrt[xy]
Υψώνουμε στο τετράγωνο και τα δύο μέλη κι' έχουμε:
(x+y)^2=(6+sqrt[xy])^2
x^2+y^2+2xy=6^2+2*6*sqrt[xy]+(sqrt[xy])^2
x^2+y^2+2xy=36+12sqrt[xy]+xy
x^2+y^2+2xy-xy=36+12sqrt[xy]
x^2+y^2+xy=36+12sqrt[xy]
Αντικαθιστούμε το πρώτο μέλος με την τιμή της (1) κι' έχουμε:
84=36+12sqrt[xy]
12sqrt[xy]=84-36
12sqrt[xy]=48
sqrt[xy]=48/12
sqrt[xy]=4
Υψώνουμε στο τετράγωνο και τα δύο μέλη κι' έχουμε:
(sqrt[xy])^2=4^2
xy=16 (3)
Αντικαθιστούμε τη τιμή της (3) στη (2) κι' έχουμε:
x−sqrt[xy]+y=6
x-sqrt[16]+y=6
x-4+y=6
x+y=6+4
x+y=10
y=10-x (4)
x=10-y (5)
Αντικαθιστούμε τη τιμή της (3) στην (1) κι΄ έχουμε:
x^2+xy+y^2=84
x^2+16+y^2=84
x^2+y^2=84-16
x^2+y^2=68
Αντικαθιστούμε το y με τη (4) κι' έχουμε:
x^2+(10-χ)^2=68
χ^2+10^2-2*10χ+χ^2=68
χ^2+100-20χ+χ^2-68=0
2χ^2-20χ+32=0
Διαιρούμε δια 2 κι' έχουμε:
χ^2-10χ+16=0
(χ-8)*(χ-2)=0
Εξισώνουμε την κάθε παρένθεση με το 0 κι' έχουμε:
x-8=0 ====> x=8 (6)
x-2=0 ====> x=2 (7)
Άρα:
xy=16, x=8, y=2, η y=8, x=2
Επαλήθευση:
(a) x^2+xy+y^2=84
8^2+16+2^2=84
64+16+4=84
(b) x-sqrt[xy]+y=6
8-sqrt[16]+2=6
8-4+2=6
Έτσι διδάσκονται τα μαθηματικά κύριοι, όχι πατ κιουτ.
ΔιαγραφήΣωστός, αλλά πολλή πληκτρολόγηση βρε Θανάση.
ΔιαγραφήΑστειεύομαι φυσικά. Μια χαρά μού φαίνονται όλες οι λύσεις!
Διαγραφή