Σάββατο 24 Σεπτεμβρίου 2022

Άθροισμα πολυωνύμων

Το πολυώνυμο 
$P(x) = x^4 −27x^2 + 121$ 
γράφεται κατά μοναδικό τρόπο ως γινόμενο δύο τριωνύμων με ακέραιους συντελεστές, και οι συντελεστές του $x^2$ είναι $1$.  
Ποιο είναι το άθροισμα των δύο τριωνύμων;
(α) $2x^2 − 5x + 122$ 
(β) $2x^2 − 5x − 22$ 
(γ) $2x^2 − 5x + 22$
(δ) $2x^2 − 22$ 
(ε) $2x^2 + 22$

4 σχόλια:

  1. Θα το κουράσω λίγο, επιχειρώντας μία διαφορετική προσέγγιση:
    Δεδομένου ότι στο P(x) λείπουν οι όροι x^3 και x, θα πρέπει τα δύο τριώνυμα - παράγοντες, δεδομένου ότι έχουν αμφότερα συντελεστή 1 στο x^2, να έχουν αντίθετους συντελεστές στο x, που σημαίνει καταρχάς ότι μόνο οι δύο τελευταίες επιλογές παίζουν.
    Το ότι η παραγοντοποίηση είναι μοναδική σημαίνει ανυπαρξία πραγματικών ριζών και των δύο τριωνύμων, που σημαίνει ότι ο κοινός σταθερός τους όρος (-11 ή +11) είναι ο +11, αλλιώς τα τριώνυμα θα είχαν σίγουρα θετικές διακρίνουσες και θα μπορούσαν να παραγοντοποιηθούν περαιτέρω, άτοπο. Έτσι η τελευταία επιλογή είναι μονόδρομος.

    ΑπάντησηΔιαγραφή