$P(x) = x^4 −27x^2 + 121$
γράφεται κατά μοναδικό τρόπο ως γινόμενο δύο τριωνύμων με ακέραιους συντελεστές, και οι συντελεστές του $x^2$ είναι $1$.
Ποιο είναι το άθροισμα των δύο τριωνύμων;
(α) $2x^2 − 5x + 122$
(β) $2x^2 − 5x − 22$
(γ) $2x^2 − 5x + 22$
(δ) $2x^2 − 22$
(ε) $2x^2 + 22$
Η σωστή απάντηση είναι το Ε.
ΑπάντησηΔιαγραφήP(x)=(x^2)^2+2x^2*11+11^2-49x^2=(x^2-7x+11)(x^2+7x+11)
ΑπάντησηΔιαγραφή👍Ακριβώς!!
ΔιαγραφήΘα το κουράσω λίγο, επιχειρώντας μία διαφορετική προσέγγιση:
ΑπάντησηΔιαγραφήΔεδομένου ότι στο P(x) λείπουν οι όροι x^3 και x, θα πρέπει τα δύο τριώνυμα - παράγοντες, δεδομένου ότι έχουν αμφότερα συντελεστή 1 στο x^2, να έχουν αντίθετους συντελεστές στο x, που σημαίνει καταρχάς ότι μόνο οι δύο τελευταίες επιλογές παίζουν.
Το ότι η παραγοντοποίηση είναι μοναδική σημαίνει ανυπαρξία πραγματικών ριζών και των δύο τριωνύμων, που σημαίνει ότι ο κοινός σταθερός τους όρος (-11 ή +11) είναι ο +11, αλλιώς τα τριώνυμα θα είχαν σίγουρα θετικές διακρίνουσες και θα μπορούσαν να παραγοντοποιηθούν περαιτέρω, άτοπο. Έτσι η τελευταία επιλογή είναι μονόδρομος.