Τετάρτη 21 Σεπτεμβρίου 2022

Λόγος βάσεων

Αν η μεγαλύτερη βάση ενός ισοσκελούς τραπεζίου ισούται με την διαγώνιο και η μικρότερη βάση ισούται με το ύψος, ποιος είναι ο λόγος της μικρότερης βάσης προς τη μεγαλύτερη βάση;
Αναρτήθηκε από στις 21.9.22
Ετικέτες , ,

8 σχόλια:

  1. papadim21 Σεπτεμβρίου 2022 στις 10:57 π.μ.

    Αν α η μικρή βάση και β η μεγάλη βάση, τότε η προβολή της διαγωνίου στη μεγάλη βάση είναι α+(β-α)/2=(α+β)/2 και από το ΠΘ στο τρίγωνο με πλευρές το ύψος, την υπόψη προβολή διαγωνίου και τη διαγώνιο, έχουμε:
    α^2+[(α+β)/2]^2=β^2 και με λίγες πραξούλες α/β=3/5

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. michalis zartoulas21 Σεπτεμβρίου 2022 στις 12:46 μ.μ.

    Πολύ σωστή και λιτή λύση!! Εξαιρετικός όπως πάντα!!!😀

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. PAPAVERI4821 Σεπτεμβρίου 2022 στις 5:43 μ.μ.

    Ας δώσω κι' εγώ τη λύση αναλυτικά για να υπάρχει 😀😀
    Έστω το ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ , «x» η μικρότερη ΑΒ και «ψ» η μεγαλύτερη βάση ΓΔ. Φέρουμε τις δύο διαγώνιες ΑΔ και ΒΓ. Επειδή το τραπέζιο είναι ισοσκελές οι άνω γωνίες είναι ίσες με τις κάτω γωνίες, επίσης και οι δύο διαγώνιες είναι ίσες. Τότε το μήκος των διαγωνίων γίνεται «ψ» και τα ύψη του τραπεζίου γίνονται «x», γιατί δίνεται ότι η μεγαλύτερη βάση ενός ισοσκελούς τραπεζοειδούς ισούται με διαγώνιο και η μικρότερη βάση ισούται με το υψόμετρο. Συγκρίνουμε τα δύο τρίγωνα ΑΓΕ και ΒΔΖ κι’ έχουμε:
    Τα δύο ύψη ίσα
    ΑΕ=ΒΖ
    Και τις δύο γωνίες ίσες
    ΓΑΕ=ΖΒΔ
    Οι παραπάνω γωνίες είναι ίσες γιατί υπάρχει η ιδιότητα του ισοσκελούς τραπεζίου να είναι ίσες οι κάτω γωνίες της βάσης.
    Επειδή τα τρίγωνα AEΓ ≅ BΖΔ και οι πλευρές ΓΕ και ΖΔ είναι ίσες
    Όπως αποδείξαμε παραπάνω ότι:
    ΓE=ΖΔ
    Ας υποθέσουμε ότι τα μήκη των ΓE και ΖΔ είναι ίσα με «ω».
    Το μήκος της πλευράς EΖ είναι "ψ", από το σχήμα.
    Άρα έχουμε:
    ΓΕ+ΕΖ+ΖΔ=ψ
    Αντικαθιστούμε τα μήκη με τις τιμές κι’ έχουμε:
    ω+x+ω=ψ === 2ω+x=ψ === 2ω=ψ-x === ω=(ψ-x)/2 (1)
    Από το ορθογώνιο τρίγωνο AEΔ γνωρίζουμε τα μήκη των πλευρών
    AE ως "x" και AΔ ως "ψ", αλλά δεν γνωρίζουμε το μήκος
    της πλευράς ED, τ’ οποίο είναι :
    EΔ=EΖ+ΖΔ ==ΕΔ=x+(ψ-x)/2 === ΕΔ=(2x+ψ-x)/2 ===
    ΕΔ=(x+ψ)/2 (2)
    Εφαρμόζοντας το Πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθωγώνιο τρίγωνο
    ΑΕΔ έχουμε:
    ψ^2=x^2+[(x+ψ)/2]^2 === ψ^2=x^2+(x^2+2xψ+ψ^2)/4 ==
    4ψ^2=4x^2+x^2+2xψ+ψ^2 === 4ψ^2-ψ^2-5x^2-2xψ=0 ==
    3ψ^2-2xψ-5x^2=0 (3)
    To -2xψ παριστάνεται ως εξής:
    -2xψ= -5xψ+3xψ
    Η (3) γίνεται:
    3ψ^2-5xψ+3xψ-5x^2=0
    ψ*(3ψ-5x)+x*(3ψ-5x)=0
    Εξάγουμε κοινό παράγοντα την τιμή (3ψ-5x) κι’ έχουμε:
    (ψ+x)*(3ψ=5x)=0
    Λύνοντας την ανωτέρω εξίσωση εξισώνοντας κάθε παρένθεση με το 0 έχουμε:
    ψ+x=0 === ψ= -χ (4) Απορρίπτεται.
    3ψ-5x=0 === 3ψ=5x === 3/5=x/ψ (5) Αποδεκτό.
    Άρα η αναλογία της μικρότερης βάσης προς την μεγαλύτερη είναι ίση με 3/5
    Για το σχήμα όρα εδώ:
    https://imgur.com/a/lTlfAL4

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  4. michalis zartoulas21 Σεπτεμβρίου 2022 στις 6:06 μ.μ.

    Carlo, καλησπέρα!!! Ωραία και σωστή λύση, αλλά δεν χρειάζεται να τα γράφεις τόσο αναλυτικά, για να μην κουράζεσαι το λέω.😉

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  5. PAPAVERI4821 Σεπτεμβρίου 2022 στις 7:05 μ.μ.

    Μιχάλη, το λέω σ' εσένα και γενικά, Τα μαθηματικά τα εμπεδώνεις καλύτερα, όταν δίνεις μια πλήρη λύση σ' ένα πρόβλημα, και όχι λακωνική. Πως θα μάθει ο μαθητής να σκέπτεται εάν δεν αναλύσει σε βάθος το πρόβλημα για να το λύσει;. Εγώ έτσι έμαθα να χειρίζομαι τα προβλήματα, γι' αυτό ήμουνα άριστος στο λύκειο.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  6. michalis zartoulas21 Σεπτεμβρίου 2022 στις 7:14 μ.μ.

    Carlo, δεν αντιλέγω καθόλου και συμφωνώ απολύτως με αυτά που λες , όμως δεν νομίζω ότι μας παρακολουθούν μαθητές .(αν δεν κάνω λάθος)

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  7. PAPAVERI4821 Σεπτεμβρίου 2022 στις 8:00 μ.μ.

    Αυτό δεν μπορούμε να το ξέρουμε. Μπορεί να επισκέπτονται την ιστοσελίδα , να ρίχνουν μια ματιά και να αποχωρούν. Παλαιότερα υπήρχαν λύτες μαθητές.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. PAPAVERI4821 Σεπτεμβρίου 2022 στις 8:16 μ.μ.

      Με αυτό τον τρόπο θα τους κεντρίσει την περιέργεια διαβάζοντας την να δουν πως λύνεται.

      Διαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)