Τετάρτη 14 Σεπτεμβρίου 2022

Ελάχιστη διαφορά

Δίνεται η εξίσωση δευτέρου βαθμού 
$x^2 + bx + c = 0$ 
με $b + c = 298$. 
Αν 
$(x – v) (x – u) = x^2 + bx + c$ 
όπου $u$ και $v$ είναι ακέραιες λύσεις της εξίσωσης με $u < v$. 
Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της διαφοράς $v – u$.
Αναρτήθηκε από στις 14.9.22
Ετικέτες , ,

1 σχόλιο:

  1. Kostas Lazos14 Σεπτεμβρίου 2022 στις 10:43 μ.μ.

    Έχουμε u+v=-b άρα u+v=c-298 και uv=c
    (u+v)^2=(c-298)^2 άρα μετά απο πράξεις και συνυπολογίζοντας το γεγονός ότι uv=c έχουμε
    u^2+v^2=c^2-598c+88804
    αρα (u-v)^2=u^2-2uv+v^2=c^2-600c+88804= c^2-600c+90000-1196=(c-300)^2-1196=
    =(b-2)^2-1196
    Επειδή (u-v)^2 ειναι ακέραιος αριθμός πρέπει και το (b-2)^2-1196 να ειναι ακέραιος και μάλιστα τέλειο τετράγωνο επειδή το v-u είναι ακέραιος αριθμός.

    Άρα (b-2)^2-1196=x^2 άρα (b-2-x)(b-2+x)=1196
    Από ανάλυση σε γινόμενο πρώτων παραγόντων προκύπτει ότι 1196=2*2*13*23
    άρα b-2-x και b-2+x είναι
    2 και 598
    4 και 299
    13 και 92
    23 και 52
    26 και 46
    Απο αυτούς μόνο το ζευγάρι 2 και 598 καθώς και το ζευγάρι 26 και 46 βγάζουνε ακέραιο x.
    Άρα b-2-x και b-2+x μπορεί να είναι:
    2 και 598 που βγάζει x=298
    26 και 46 που βγάζει x=10

    Άρα η ελάχιστη διαφορά u-v είναι 10.

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)