- Ένα κοινό έτος έχει 365 ημέρες. ένα δίσεκτο έτος έχει 366.
- Τα έτη που δεν διαιρούνται με το 4 είναι κοινά έτη.
- Τα έτη που διαιρούνται με το 100 αλλά όχι με το 400 είναι κοινά έτη.
- Τα έτη που διαιρούνται με το 400 είναι δίσεκτα.
Ποια είναι η πιθανότητα τα Χριστούγεννα (25 Δεκεμβρίου) να πέφτουν ημέρα Τετάρτη;
William Lowell Putnam Mathematical Competition
Ενδιαφέρον πρόβλημα, κυρίως διότι η απάντηση δε νομίζω ότι είναι 1/7..
ΑπάντησηΔιαγραφήΣε ένα έτος 365 ημερών τα Χριστούγεννα πέφτουν 1 μέρα μετά από τη μέρα που έπεσαν στο αμέσως προηγούμενο έτος και σε ένα έτος 366 ημερών 2 μέρες μετά (365=52*7+1 και 366=52*7+2).
Σε μια περίοδο 400 ετών, υπάρχουν 100 πολλαπλάσια του 4, αλλά από αυτά τα 3 είναι πολλαπλάσια του 100 και μη πολλαπλάσια του 400. Επομένως, σε μια τέτοια περίοδο, υπάρχουν 100-3=97 δίσεκτα και 400-97=303 κοινά έτη.
Έτσι, η μέρα που πέφτουν τα Χριστούγεννα στο τέλος των 400 ετών θα έχει αλλάξει κατά 303*1+97*2=497=71*7=0(mod7) μέρες, δηλαδή θα είναι τελικά η ίδια με τη μέρα του αρχικού έτους και ο κύκλος επαναλαμβάνεται εις το διηνεκές.
Ο αριθμός 400 όμως δεν είναι διαιρείται με το 7, επομένως η συχνότητα εμφάνισης στα Χριστούγεννα οποιασδήποτε μέρας της βδομάδας ανά 400 έτη δεν μπορεί να είναι 1/7 ακριβώς.
Σε μια περίοδο 400 ετών, τα Χριστούγεννα πέφτουν ακριβώς 57 φορές Τετάρτη, επομένως, η ακριβής πιθανότητα σε μια τυχαία χρονιά τα Χριστούγεννα να πέφτουν Τετάρτη είναι 57/400.
Tricky!! το πρόβλημα, εξαιρετική η λύση σου Θανάση!!! (καλησπέρα Θανάση!! )
ΑπάντησηΔιαγραφήΕυχαριστώ και καλησπέρα! Πάντως τα φετινά Χριστούγεννα για έναν αδιευκρίνιστο λόγο πέφτουν με πιθανότητα μόλις 0% Τετάρτη!😊
ΑπάντησηΔιαγραφή