Ποιο σχήμα έχει την μεγαλύτερη περίμετρο το τετράγωνο ή ο κύκλος;
Algebra, Geometry, International Mathematical Olympiads, Recreational Mathematics, Math contests, Puzzles, Brainteasers, Number Theory, Combinatorics, Logic, Paradox
Εγγραφή σε:
Σχόλια ανάρτησης (Atom)
Στο τετράγωνο ABCD, το E είναι το μέσον της BC.
ΑπάντησηΔιαγραφήΕύρεση με ορθογώνιο τρίγωνο
Από το σημείο E φέρουμε κάθετη στη G, η οποία αποτελεί την διάμετρο του κύκλου και ταυτόχρονα τέμνει την AD στο σημείο F. Άρα το μήκος AF είναι ίσο με Y και το μήκος DF είναι ίσο με Y, άρα ολόκληρη η πλευρά του τετραγώνου θα είναι ίση με α=y+y=2Y (1). Φέρουμε την CO.
Άρα:
EO+FO=r+x=2y === x= 2y-r (2)
Εφαρμόζοντας το Πυθαγόρειο Θεώρημα στο τρίγωνο FOA έχουμε:
c^2=a^2+b^2 === r^2=y^2+(2y-r)^2 === r^2=y^2+4y^2-4yr+r^2 ===
r^2-r^2=y^2+4y^2-4yr ===
5y^2-4yr=0 === y(4r-5y)=0
y=0
4r-5y=0 === 4r=5y === r=(5/4)*y (3)
Περίμετρος Τετραγώνου: Πτ=4*α (4)
Αντικαθιστούμε τη τιμή α στη (4) κι’ έχουμε:
Πτ=4*α === Πτ=4*2*υ === Πτ=8*υ (5)
Περίμετρος Κύκλου: Πκ=2*π*r (6)
Αντικαθιστούμε τη τιμή r στην (6) κι’ έχουμε:
Πκ=2*π*r === Πκ=2*π*(5/4)*y ===
Πκ=(5*π/2)*y ===
Πκ=(5*3,14159265/2)*Υ ===
Πκ=(15,70796325/2)*y ===
Πκ=7,853981625*y === Πκ= ≈ 7.86*y
Άρα η περίμετρος του τετραγώνου είναι μεγαλύτερη από την περίμετρο του κύκλου.
Για το σχήμα, όρα εδώ:
https://imgur.com/a/obO5pSX