Τρίτη 30 Αυγούστου 2022

100 κύκλοι !

Ένα τρίγωνο καλύπτεται από $25$ κύκλους ακτίνας $1$. 
Αποδείξτε ότι αυτό το τρίγωνο μπορεί να καλυφθεί από $100$ κύκλους διαμέτρου $1$.

10 σχόλια:

  1. Όταν η διάμετρος υποδιπλασιάζεται το εμβαδόν του κύκλου υποτετραπλασιάζεται λόγω του τύπου Ε=πδ^2/4. Διάμετρος 1 είναι υποδιπλασιασμός ακτίνας 1, άρα το εμβαδόν θα υποτετραπλασιαστεί, που σημαίνει ότι θα χρειαστούμε τετραπλάσιο αριθμό κύκλων για την κάλυψη του τριγώνου. Άρα οι 2 περιπτώσεις είναι ισοδύναμες επιφάνειες.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Εδώ οι αριθμητικές τιμές είναι περιττή πληροφορία.
    Θα ήταν καλύτερα να αποδειχθεί το γενικό συμπέρασμα, δηλαδή όπως το απέδειξε ο kfd πολύ σωστά!!

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. Νομίζω ότι το αριθμητικό επιχείρημα του φίλου kfd δεν αρκεί για να αποδειχθεί το ζητούμενο, χρειάζεται να δείξουμε και τον τρόπο:
    Αν χαράξουμε τα τρία τμήματα που συνδέουν τα μέσα των πλευρών τού τριγώνου, τότε αυτό χωρίζεται σε 4 μικρότερα τρίγωνα όμοια προς το αρχικό, με λόγο ομοιότητας 1/2. Αφού λοιπόν το αρχικό τρίγωνο καλύπτεται από 25 κύκλους ακτίνας 1, έπεται ότι καθένα από τα 4 μικρότερα όμοιά του τρίγωνα καλύπτεται αντιστοίχως από 25 κύκλους ακτίνας 1/2, ήτοι διαμέτρου 1, άρα το αρχικό τρίγωνο καλύπτεται πλήρως από 4*25=100 κύκλους διαμέτρου 1.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  4. Ναι, αυτό σκέφτηκα κι εγώ και είναι πολύ σωστό, ωστόσο επειδή το πρόβλημα είναι για δημοτικό, νομίζω ότι είναι πολύ δύσκολο να καταλάβουν αυτό που λες.
    Η ομοιότητα τριγώνων διδάσκεται στην Γ' Γυμνασίου.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  5. Σε κάθε περίπτωση, μια απόδειξη οφείλει να είναι έγκυρη, παρά εύκολη (αλλά άκυρη)..😊

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  6. Η λύση του kfd δεν είναι πλήρης(πολύ σωστά τα λες!!), αυτά που γράφει είναι η αρχή, αλλά χρειάζεται και να αποδείξει πως θα τους χωρέσουμε τους κύκλους, όπως έκανες εσύ δηλαδή. Η έγκυρη απόδειξη είναι το ζητούμενο, αν και δεν βλέπω τον λόγο να συζητάμε για έγκυρη και άκυρη απόδειξη, εφόσον το ζητούμενο είναι σαφές. Ή μπορεί κάποιος να το αποδείξει ή δεν μπορεί; δεν νομίζω να παρεξήγησε ο kfd το ζητούμενο, απλά έγραψε μία τελείως λανθασμένη απόδειξη.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  7. Θα ήταν χρήσιμη πάντως μια έγκυρη και εύκολη απόδειξη, να την καταλαβαίνουν και παιδιά του Δημοτικού που δεν έχουν διδαχτεί ομοιότητα τριγώνων. Μήπως την έχει κανείς;😏

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  8. Θανάση, εδώ και καιρό έχουν χαθεί οι φοβεροί λύτες γρίφων από την ιστοσελίδα omathimatikos.gr, οι οποίοι ήταν πιο παλιά στο grifoi.org. Μήπως ξέρεις γιατί ; Ο Carlo μου είπε ότι θα επικοινωνήσει μαζί τους. Να τους πεις κι εσύ (αν μπορείς) να έρθουν στην ιστοσελίδα του συναδέλφου Κώστα Μπουραζάνα.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Για να πω την αλήθεια μου, όσα γριφοστέκια κι αν παρακολούθησα κατά καιρούς, την παλιά παρέα εδώ στο eisatopon είναι που νοσταλγώ πιο πολύ ..

      Διαγραφή