Τετάρτη 20 Ιουλίου 2022

Ο συντομότερος δρόμος

Θέλουμε να φτιάξουμε έναν δρόμο ανάμεσα σε δύο πόλεις, την $Α$ και τη $Β$, που τις χωρίζει ένα ποτάμι. Μπορούμε να φτιάξουμε μια γέφυρα, αλλά πρέπει να είναι κάθετη στις όχθες του ποταμού, όπως φαίνεται. 
Πού πρέπει να τοποθετήσουμε τη γέφυρα κατά μήκος του ποταμού αν θέλουμε να ελαχιστοποιήσουμε το συνολικό μήκος του δρόμου;

3 σχόλια:

  1. Φέρνω από το Α κάθετη ημιευθεία στις όχθες και θεωρώ σ΄αυτήν τμήμα ίσο με το πλάτος ποταμού. Ενώνω με το Β και το σημείο τομής με την όχθη είναι το ζητούμενο.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Ας υποθέσουμε ότι δεν υπάρχει ποτάμι. Ο ποταμός μειώνεται σε μια γραμμή (πλάτους μηδέν) και η πόλη Β μετακινείται προς τα πάνω κατά την απόσταση ίση με το αρχικό πλάτος του ποταμού, βλέπε ανωτέρω εικόνα. Αυτό το πρόβλημα λύνεται εξαιρετικά εύκολα: μια ευθεία γραμμή μεταξύ Α και Β' δίνει τη λύση! Αυτή η λύση συνεπάγεται και τη λύση στο αρχικό πρόβλημα. Η γραμμή μεταξύ της πόλης Α και Β' διασχίζει την όχθη του ποταμού σε κάποιο σημείο, ας πούμε, το Γ. Αυτό είναι το σημείο από το οποίο πρέπει να ξεκινά η γέφυρα. το τερματικό σημείο της γέφυρας (δηλαδή, το σημείο της άλλης πλευράς του ποταμού) είναι Δ ,βλέπε ανωτέρω εικόνα. Τα τμήματα ΔB και AΓ είναι παράλληλα, επομένως η συνολική απόσταση AΓ+ΓΔ+ΔB είναι η μικρότερη δυνατή.
    Για οποιαδήποτε άλλη σύνδεση, έστω A - Γ', Δ'- B έχουμε:
    AΓ'+Γ'Δ'+Δ'B= AΓ'+Γ'Δ'+Γ'B' > AB'+Γ'Δ'= AΓ+ΓΔ+ΓB'=AΓ+ΓΔ+ΔB, όπως Γ'Δ'=ΓΔ και AΓ'+Γ'B'>AB' (ανισότητα τριγώνου).
    Ο καλύτερος τρόπος για να λύσετε το πρόβλημα του πώς να διασχίσετε το ποτάμι είναι να αφαιρέσετε το ποτάμι από την ύπαρξη!
    Για το σχήμα όρα εδώ:
    https://imgur.com/a/q8Tcb7L

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. ένας από εσάς πολλές λαμπρές αναρτήσεις αναρτήσεις

    ΑπάντησηΔιαγραφή