Algebra, Geometry, International Mathematical Olympiads, Recreational Mathematics, Math contests, Puzzles, Brainteasers, Number Theory, Combinatorics, Logic, Paradox
Εγγραφή σε:
Σχόλια ανάρτησης (Atom)
Algebra, Geometry, International Mathematical Olympiads, Recreational Mathematics, Math contests, Puzzles, Brainteasers, Number Theory, Combinatorics, Logic, Paradox
Για x διάφορο του μηδενός έχουμε:
ΑπάντησηΔιαγραφήf(x) f(1/x)= (a^x+a^(-x))(a^(1/x)+a^(-1/x))= 2(a+1/a)= 2f(1).
Αν στην σχέση f(x) f(1/x) = 2f(1) θέσουμε όπου x=1 έχουμε την εξίσωση : f(1)^2 -2f(1)=0 από την οποία παίρνομε δυο λύσεις: f(1)=0 που απορρίπτεται επειδή f(1)= a+1/a διάφορο του μηδενός και f(1)= 2 που είναι αποδεκτή.
Αν στην σχέση f(x) f(1/x) = 2f(1) θέσουμε όπου x=2/3 θα έχουμε: f(2/3) f(3/2) = 2f(1) ισοδύναμα
f(3/2) = 2f(1)/ f(2/3) ισοδύναμα f(3/2) = 4/(1+2sqrt(2))
= -4 (1-2sqrt(2))/7.
Ισχύουν τα εξής: f(2x)=f(x)^2 - 2 , f(x)f(1/x)=f(x + 1/x) + f(x - 1/x) και f(3x)=f(x)^3 - 3f(x) . Άρα f(1/3)=sqrt(f(2/3) + 2)=sqrt(3+2sqrt(2))=1+sqrt(2), f(1)=f(1/3)^3 - f(1/3)=4+2sqrt(2), f(1/2)=sqrt( 4+2sqrt(2)-2)=sqrt(2+2sqrt(2)), f(1)f(1/2)=f(3/2)+f(1/2)=>f(3/2)=(3+sqrt(2))sqrt(2+sqrt(2)=sqrt(2)*(1+sqrt(2))^(5/2)
ΑπάντησηΔιαγραφήf(3/2)=sqrt(150+106*sqrt(2))
ΑπάντησηΔιαγραφή