Δευτέρα 27 Ιουνίου 2022

Από USA

Δίνεται η συνάρτηση
$f(χ) = α^χ +\dfrac{1}{α^χ}$
όπου $α$ θετικός πραγματικός αριθμός.

Αν $f(\dfrac{2}{3})= 1 + 2\sqrt{2}$, τότε να βρεθεί η τιμή $f(\dfrac{3}{2})$.
Adrian Andreescu, University of Texas, USA

3 σχόλια:

  1. Για x διάφορο του μηδενός έχουμε:
    f(x) f(1/x)= (a^x+a^(-x))(a^(1/x)+a^(-1/x))= 2(a+1/a)= 2f(1).
    Αν στην σχέση f(x) f(1/x) = 2f(1) θέσουμε όπου x=1 έχουμε την εξίσωση : f(1)^2 -2f(1)=0 από την οποία παίρνομε δυο λύσεις: f(1)=0 που απορρίπτεται επειδή f(1)= a+1/a διάφορο του μηδενός και f(1)= 2 που είναι αποδεκτή.
    Αν στην σχέση f(x) f(1/x) = 2f(1) θέσουμε όπου x=2/3 θα έχουμε: f(2/3) f(3/2) = 2f(1) ισοδύναμα
    f(3/2) = 2f(1)/ f(2/3) ισοδύναμα f(3/2) = 4/(1+2sqrt(2))
    = -4 (1-2sqrt(2))/7.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Ισχύουν τα εξής: f(2x)=f(x)^2 - 2 , f(x)f(1/x)=f(x + 1/x) + f(x - 1/x) και f(3x)=f(x)^3 - 3f(x) . Άρα f(1/3)=sqrt(f(2/3) + 2)=sqrt(3+2sqrt(2))=1+sqrt(2), f(1)=f(1/3)^3 - f(1/3)=4+2sqrt(2), f(1/2)=sqrt( 4+2sqrt(2)-2)=sqrt(2+2sqrt(2)), f(1)f(1/2)=f(3/2)+f(1/2)=>f(3/2)=(3+sqrt(2))sqrt(2+sqrt(2)=sqrt(2)*(1+sqrt(2))^(5/2)

    ΑπάντησηΔιαγραφή