Τρίτη 28 Ιουνίου 2022

Γράφημα $f'' $

Στο παρακάτω σχήμα βλέπουμε τη γραφική παράσταση της δεύτερης παραγώγου μιας συνάρτησης $f$.
Να βρεθεί το όριο:
$$ \big( \displaystyle\lim_{x \rightarrow +\infty }\dfrac{f'(χ)}{χ}\big) \big( \displaystyle\lim_{x \rightarrow -\infty  }-\dfrac{f'(-χ)}{χ}\big)$$
University of Houston Mathematics Contest 2022

1 σχόλιο:

  1. Αρκεί να υπολογίσουμε το lim(x->+oo)f'(x)/x=A(lim(x->-oo)f'(-x)/(-x)=B=lim(-x->+oo)f'(-x)/(-x)=A). Από τη γραφική παράσταση : υπάρχει xo ώστε f''(xo)=1 και f''(x)>f''(xo)=1 για x>xo. Από ΘΜΤ για την f'(x): (f'(x)-f'(xo))/(x-xo)=f''(ξ)>1 (για xo f'(x)>x-xo+f'(xo), άρα f'(x)->+oo, όταν x->+oo. Από L'Hospital : lim(x->+oo)f'(x)/x=lim(x->+oo)f''(x)/1=2=A=B. Επομένως Α*Β=2*2=4.

    ΑπάντησηΔιαγραφή