Παρασκευή 24 Ιουνίου 2022

Αστέρι

Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο $ABC$. Τα σημεία $A'$ και $A''$ που τριχοτομούν την πλευρά $BC$, $B'$ και $B''$ την πλευρά $AC$ και $C'$ και $C''$ την πλευρά $AB$, όπως φαίνεται στο σχήμα. 
Τι ποσοστό του εμβαδού του τριγώνου $ABC$ είναι το εμβαδόν του σκιασμένου αστεριού;

2 σχόλια:

  1. Αν P το σημείο τομής της ΒΒ' και CC'' και Ο το σημείο τομής των ΜG , HD( MG//AB, HD//AC, λόγω συμμετρίας).Από ομοιότητα τριγώνων (αν ΑΒ=1) ΒCC'', PBC'' προκύπτει PC''=PB/3 και από νόμο συνημιτόνων στο C''PB (γωνίαC''PB=π/3) έχουμε PB=sqrt(7)/7. Από νόμο συνημιτόνων στο BCC'' cosφ=5sqrt(7)/14 (φ=BCC'') και CC''=sqrt(7)/3. Άρα sinφ=sqrt(21)/14 και CP=CC''-PC''=CC''-PB/3=2sqrt(7)/7=2PB. Επίσης HB=(AB/2)/cosφ=sqrt(7)/5 και PH=HB-PB=2sqrt(7)/35. Από ομοιότητα τριγώνων BCC'' και PGM PM=PG/3=(PH+HG)/3=(PH+HM)/3 και από νόμο ημιτόνων στο PHM PM/sin2φ=HM/sin(π/3) , άρα HM=7PM/5 και PM=sqrt(7)/28, HM=sqrt(7)/20. Από ομοιότητα τριγώνων HOM BPC HO=OM/2 και από νόμο συνημιτόνων στο HOM (γωνίαHOM=2π/3, αφού λόγω συμμετρίας τα GME και HDF είναι ισόπλευρα) προκύπτει HO=1/20 και OM=1/10.Επομένως GM=1/4 και Εμβαδό αστεριού/(ABC)=((1/2)*(sqrt(3)/2)*((1/4)^2 + 3*(1/20)^2)/((1/2)*(sqrt(3)/2) = 1/16 + 3/400=28/400=7/100=7%.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Άψογα!!
    Προτιμότερο θα ήταν να λυθεί από μαθητές

    ΑπάντησηΔιαγραφή