Διασκεδαστικά Μαθηματικά : Ρητός ή άρρητος

Τετάρτη 11 Μαΐου 2022

Είναι ο αριθμός $εφ19^0$ ρητός ?

vimarkoulis@gmail.com13 Μαΐου 2022 στις 12:00 μ.μ.
Αν εφ19 ρητός τότε η γωνία 19 θα ήταν κατασκευάσιμη . Επειδή 19=15+4 και η γωνία 15 είναι κατασκευάσιμη θα ήταν και η γωνία 4. Επειδή 4=3+1 και η γωνία 3 είναι κατασκευάσιμη( διχοτόμηση της γωνίας 6 =36-30 και η γωνία 36=72/2, όπου 72 η γωνία του κανονικού πενταγώνου που είναι κατασκευάσιμο) είναι κατασκευάσιμη και η γωνία 1 άρα και όλες οι γωνίες ακεραίων μοιρών . Επομένως και η γωνία 20=60/3 θα ήταν κατασκευάσιμη άρα και ο συν20. Αλλά συν60=4συν^3(20) - 3συν20. Το πολυώνυμο 8x^3 -6x - 1=0 είναι ανάγωγο στο Ζ άρα
και στο Q (τα 1,-1 δεν είναι ρίζες) και η επέκταση [Ε:Q]=3 του Q που περιέχει το x=συν20 δεν είναι δύναμη του 2 άρα το συν20 δεν είναι κατασκευάσιμο. Επομένως ο εφ19 δεν είναι ρητός.
ΑπάντησηΔιαγραφή
Απαντήσεις