Δευτέρα 30 Μαΐου 2022

Άρρητη εξίσωση

Nα λυθεί η εξίσωση
$x^2 + \dfrac{1}{x} + 7(x + 1) = 8 \sqrt{2(x^2 + 1)}$

2 σχόλια:

  1. x διάφορο του 0 και το (x^2 + 1/x + 7(x+1)) μη αρνητικό.
    Με απαλοιφή του παρονομαστή και υψώνοντας στο τετράγωνο παίρνουμε την εξίσωση: x^6 + 14x^5 - 65x^4 + 100x^3 - 65x^2 + 14x + 1=0, με ρίζες 1, -9+4sqrt(5), -9-4sqrt(5), που ικανοποιούν και τους αρχικούς περιορισμούς.(όλες οι λύσεις της αρχικής εξίσωσης είναι και λύσεις της τελικής ,όχι το αντίστροφο.). Παρατήρηση: αν ρ(διάφορο του 0) είναι λύση , τότε είναι και το 1/ρ.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. x^6 + 14x^5 - 65x^4 + 100x^3 - 65x^2 + 14x + 1=(x-1)^4(x^2 + 18x + 1) ( το 1 είναι ρίζα και με συνεχείς διαιρέσεις με το χ-1 καταλήγουμε στην παραπάνω παραγοντοποίηση.).

    ΑπάντησηΔιαγραφή