Τρίτη 17 Μαΐου 2022

Από Στάνφορντ

1. Να λυθεί η εξίσωση
$\sqrt[3]{20χ+ \sqrt[3]{20χ+13}}=13$

Stanford Math Tournament 

2. Να βρεθεί το άθροισμα των ριζών της εξίσωσης
$\dfrac{4χ^2+15χ+17}{χ^2+4χ+12}= \dfrac{5χ^2+16χ+18}{2χ^2+4χ+13}$

Stanford Math Tournament 

Αναρτήθηκε από στις 17.5.22
Ετικέτες ,

1 σχόλιο:

  1. Μαρίνος Ματιάτος17 Μαΐου 2022 στις 4:11 μ.μ.

    1. Θέτω (20x +13)^(1/3) = u, (με περιορισμούς u>0 και 20x+13 > 0) ισοδύναμα
    20x+13= u^3
    H εξίσωση γίνεται (20x +u)(1/3)=13 (με περιορισμό 20x+u >0) ισοδύναμα
    20x +u =13^3.
    Συνεπώς έχουμε το σύστημα
    20x +u =13^3
    20x+13=u^3
    Tο σύστημα ανάγεται στην επίλυση της εξίσωσης
    u^3 +u-13-13^3=0 στο R.
    H προφανής λύση είναι u=13, θα αποδείξουμε ότι και η μοναδική πραγματική λύση.
    Θεωρούμε την συνάρτηση h(u)= u^3 +u-13-13^3, με u ανήκει στο R.
    Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο R και
    h'(u)= 3u^2 +1>0 για κάθε u.
    Αρα η h είναι γνησίως αύξουσα στο R και 1-1.
    Συνεπώς η εξίσωση h(u)=0 έχει μοναδική πραγματική ρίζα την u=13.
    Αντικαθιστώντας την u=13 στη μια εκ των δυο εξισώσεων του συστήματος έχουμε
    20x+13=13^3 ισοδύναμα
    x= (13^3-13)/20 = (13*14*12)/20=(13*14*3)/5= 546/5 και οι παραπάνω περιορισμοί ισχύουν.

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)