Δευτέρα 30 Μαΐου 2022

Πέντε σπίτια

Υπάρχουν 5 σπίτια σε έναν δρόμο: σπίτι Α, Β, C, D και Ε. Η απόσταση μεταξύ οποιαδήποτε δύο γειτονικά σπίτια είναι 100 μέτρα. Στο σπίτι Α μένουν 2 παιδιά, στο σπίτι Β μένουν 3, στο σπίτι C μένουν 4, στο σπίτι D μένουν 5 και 6 παιδιά μένουν στο σπίτι Ε. 
Εάν το σχολικό λεωφορείο μπορεί να κάνει μόνο μία στάση σε αυτόν τον δρόμο, μπροστά από ποιο σπίτι πρέπει να σταματήσει ώστε το άθροισμα της απόστασης που θα περπατήσουν όλα τα παιδιά να είναι το ελάχιστο? 

2 σχόλια:

  1. Το σχολικό πρέπει να σταματήσει στο σπίτι (Δ), ώστε και τα είκοσι παιδιά να διανύσουν την ελάχιστη διαδρομή που είναι 2.200 μέτρα.
    (1) Εάν το σχολικό σταματήσει στο σπίτι (Α) Τα παιδιά θα διανύσουν :
    Τα δύο παιδιά από το σπίτι (Α) θα διανύσουν: 2*0=0 μέτρα.
    Τα τρία παιδιά από το σπίτι (Β) θα διανύσουν: 3*100=300 μέτρα.
    Τα τέσσερα παιδιά από το σπίτι (Γ) θα διανύσουν: 4*200=800 μέτρα.
    Τα πέντε παιδιά από το σπίτι (Δ) θα διανύσουν: 5*300=1,500 μέτρα.
    Τα έξι παιδιά από το σπίτι (Ε) θα διανύσουν: 6*400=2,400 μέτρα.
    Συνολικά και τα 20 παιδιά θα διανύσουν:
    0+300+800+1,500+2,400=5,000 μέτρα.
    (2) Εάν το σχολικό σταματήσει στο σπίτι (Β) Τα παιδιά θα διανύσουν :
    Τα δύο παιδιά από το σπίτι (Α) θα διανύσουν 2*100=200 μέτρα.
    Τα τρία παιδιά από το σπίτι (Β) θα διανύσουν: 3*0 =0μέτρα.
    Τα τέσσερα παιδιά από το σπίτι (Γ) θα διανύσουν: 4*100=400 μέτρα.
    Τα πέντε παιδιά από το σπίτι (Δ) θα διανύσουν: 5*200=1,000 μέτρα.
    Τα έξι παιδιά από το σπίτι (Ε) θα διανύσουν: 6*300=1,800 μέτρα.
    Συνολικά και τα 20 παιδιά θα διανύσουν:
    200+0+400+1,000+1,800=3,400 μέτρα.
    (3) Εάν το σχολικό σταματήσει στο σπίτι (Γ) Τα παιδιά θα διανύσουν :
    Τα δύο παιδιά από το σπίτι (Α) θα διανύσουν 2*200=400 μέτρα.
    Τα τρία παιδιά από το σπίτι (Β) θα διανύσουν: 3*100= 300μέτρα.
    Τα τέσσερα παιδιά από το σπίτι (Γ) θα διανύσουν: 4*0=0 μέτρα.
    Τα πέντε παιδιά από το σπίτι (Δ) θα διανύσουν: 5*100=500 μέτρα.
    Τα έξι παιδιά από το σπίτι (Ε) θα διανύσουν: 6*200=1,200 μέτρα.
    Συνολικά και τα 20 παιδιά θα διανύσουν:
    400+300+0+500+1,200=2,400 μέτρα.
    (4) Εάν το σχολικό σταματήσει στο σπίτι (Δ) Τα παιδιά θα διανύσουν :
    Τα δύο παιδιά από το σπίτι (Α) θα διανύσουν 2*300=600 μέτρα.
    Τα τρία παιδιά από το σπίτι (Β) θα διανύσουν: 3*200= 600μέτρα.
    Τα τέσσερα παιδιά από το σπίτι (Γ) θα διανύσουν: 4*100=400 μέτρα.
    Τα πέντε παιδιά από το σπίτι (Δ) θα διανύσουν: 5*0=0 μέτρα.
    Τα έξι παιδιά από το σπίτι (Ε) θα διανύσουν: 6*100=600 μέτρα.
    Συνολικά και τα 20 παιδιά θα διανύσουν:
    600+600+400+0+1,200=600 μέτρα.
    (5) Εάν το σχολικό σταματήσει στο σπίτι (Ε) Τα παιδιά θα διανύσουν :
    Τα δύο παιδιά από το σπίτι (Α) θα διανύσουν 2*400=800 μέτρα.
    Τα τρία παιδιά από το σπίτι (Β) θα διανύσουν: 3*300= 900μέτρα.
    Τα τέσσερα παιδιά από το σπίτι (Γ) θα διανύσουν: 4*200=800 μέτρα.
    Τα πέντε παιδιά από το σπίτι (Δ) θα διανύσουν: 5*100=500 μέτρα.
    Τα έξι παιδιά από το σπίτι (Ε) θα διανύσουν: 6*0=0 μέτρα.
    Συνολικά και τα 20 παιδιά θα διανύσουν:
    800+900+800+500+0=3,000 μέτρα.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Το πρόβλημα έχει συζητηθεί και σε παλαιότερη ανάρτηση, το 2015.

    Υπάρχει ένας απλούστατος τρόπος που μας επιτρέπει στα γρήγορα να εντοπίζουμε το βέλτιστο σημείο-σπίτι στάσης για οποιαδήποτε ανάλογη περίπτωση, χωρίς να υπολογίζουμε ξεχωριστά το αποτέλεσμα για κάθε σημείο Α, Β, C, D κ.ο.κ., πράγμα κουραστικό όταν τα σημεία γίνονται πολλά:
    Ξεκινώντας από ένα ακριανό σπίτι (στην περίπτωσή μας το Α ή το Ε) προσθέτουμε τα παιδιά κάθε σπιτιού που συναντάμε διαδοχικά μέχρι το άθροισμα να γίνει μεγαλύτερο ή ίσο του 1/2 του συνολικού αριθμού των παιδιών. Το σπίτι που θα συμβεί αυτό είναι το βέλτιστο σημείο στάσης.
    Η εξήγηση βασίζεται στην ανάλυση της μονοτονίας της συνολικής απόστασης που διανύουν τα παιδιά από τα σπίτια τους μέχρι τη στάση, σε συνάρτηση με τη θέση της στάσης. Το σημείο όπου φτάνουμε ή ξεπερνάμε το μισό του αριθμού των παιδιών είναι εκεί που η συνολική διανυόμενη απόσταση από φθίνουσα αλλάζει σε αύξουσα.
    Ο υπόψη κανόνας, παρεμπιπτόντως, λειτουργεί ανεξάρτητα από το αν οι αποστάσεις μεταξύ διαδοχικών σπιτιών είναι ίσες μεταξύ τους ή όχι.

    ΑπάντησηΔιαγραφή