Τετάρτη 27 Απριλίου 2022

Παράγωγος αντίστροφης

Δίνεται η συνάρτηση
$$f(χ) = χ^5 + 2χ^3 + 2χ$$
Να βρεθεί η τιμή
            $(f^{ −1})' (−5)$.

1 σχόλιο:

  1. H f(x) αντιστρέφεται γιατί f'(x)= 5x^4 +6x^2+2 > 0 για κάθε x πραγματικό, συνεπώς είναι γνησίως αύξουσα και 1-1.
    Έστω y= f^(-1) (x) η αντίστροφη συνάρτηση της f(x).
    Έχουμε: y^5 +2y^3+2y=x και συνεπάγεται 5y^4 y' + 6y^2 y' + 2y'=1 ισοδύναμα y'= 1/(5y^4 +6y^2 +2) (1)
    όπου
    y= f^(-1) (x).
    Άρα για να βρούμε το y'(-5) από τον παραπάνω τύπο θα πρέπει να υπολογίσουμε το y= f^(-1) (-5).
    Αρκεί να βρούμε τη μοναδική λύση της εξίσωσης
    x^5 +2x^3 +2x=-5 (2)
    και είναι μοναδική γιατί η f(x) είναι 1-1 (γιατί αλλιώς δεν θα υπήρχε αντίστροφη).
    Η προφανής λύση της εξίσωσης (2) είναι x= -1 και συνεπώς y=f^(-1) (-5)=-1.
    Αντικαθιστώντας στην εξίσωση (1) έχουμε :
    y'(-5)= 1/( 5(-1)^4 +6(-1)^2+2) = 1/(5+6+2) = 1/13

    ΑπάντησηΔιαγραφή