Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Προτεινόμενο Θέμα

Α. Να αποδείξετε ότι υπάρχει συνάρτηση $f : (0, +\infty) \rightarrow R$, για την οποία ισχύει:

 $f(x)e^{f(x)}= \dfrac{1}{x}$ 

για κάθε $x\in (0, +\infty)$.

Β. Δείξτε ότι:

α) $f(x)>0$, για κάθε $x\in (0, +\infty)$.

β) Η $f$ είναι γνησίως φθίνουσα στο $(0, +\infty)$.

γ) Η $f$ είναι συνεχής στο $(0, \infty)$.

δ) Η $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $(0, +\infty)$.

ε) Υπάρχει ένα τουλάχιστον $ξ \in (\dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{2})$τέτοιο ώστε 

$f(ξ) = 1$.

στ) Να λυθεί η εξίσωση 

$1+f(e) = x + f(e^x)$

στο διάστημα $(0,+\infty)$.

Γιάννης Τσόπελας

 Περιοδικό «Απολλώνιος» τ. 5