Σάββατο 19 Φεβρουαρίου 2022

Απόλυτη δεξιά - αριστερά

Έστω τα πολυώνυμα
$f(x) = ax^2 + bx + c$ και $g(x) = px^2 +qx+r$,
όπου $a, b, c, p, q$ και $r$ είναι πραγματικοί αριθμοί. Αν η εξίσωση 
$f(x) = g(|x|)$ 
έχει τέσσερις διαφορετικές πραγματικές λύσεις, πόσες λύσεις έχει η εξίσωση 
$f(|x|) = g(x)$;
WISCONSIN MATHEMATICS, SCIENCE & ENGINEERING TALENT SEARCH

1 σχόλιο:

  1. Οι λύσεις της f(x)=g(|x|) είναι διάφορες του μηδενός(c διάφορο του r) και a διάφορο του p διότι διαφορετικά θα είχε λιγότερες από 4 λύσεις. Οι 2 είναι θετικές και οι 2 αρνητικές. Πράγματι, για x≥0 η εξίσωση (a-p)x^2 + (b-q)x + (c-r)=0 έχει το πολύ 2 λύσεις και για x<0 η εξίσωση (a-p)x^2 + (b+q)x + (c-r)=0 το πολύ 2. Οι θετικές λύσεις είναι προφανώς και λύσεις της f(|x|)=f(x)=g(|x|)=g(x). Οι αρνητικές λύσεις, που είναι λύσεις της (a-p)x^2 + (b+q)x + (c-r), έστω ότι είναι ρ1,ρ2<0. Αλλά, αν x<0, η f(|x|)=g(x) γράφεται (a-p)x^2 - (b+q)x + (c-r)=0 και έχει ρίζες (-ρ1),(-ρ2)>0 , δηλαδή η f(|x|)=g(x) δεν έχει αρνητικές ρίζες. Επομένως η f(|x|)=g(x) έχει μόνο 2 θετικές ρίζες, τις ρίζες της (a-p)x^2 + (b-q)x + (c-r)=0.

    ΑπάντησηΔιαγραφή