Εγγραφή σε:
Σχόλια ανάρτησης (Atom)
190 Αποδείξεις του Πυθαγορείου θεωρήματος
Επισκεφτείτε το Eisatopon στο Twitter X
και στο Pinterest
Desmos Activities
Google Gemini
OpenAI - Chat GPT
DeepL Translator
LATEX
Kurt Gödel Society
János Bolyai Mathematical Society
Ramanujan Mathematical Society
Unione Mathematica Italiana
Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία
Math in France
Irish Mathematical Society
London Mathematical Society
Swiss Mathematical Society
German Mathematical Society
Societatea de Stiinte Matematice din Romania
European Mathematical Society
Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία
Canadian Mathematical Society (CMS)
Unión Matemática de América Latina y el Caribe (UMALCA)
American Mathematical Society
Belgian Mathematical Society
AUSTRALIAN MATHEMATICAL SOCIETY
Singapore Mathematical Society
Sociedade Brasileira de Matemática (SBM)
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ BLOGS
United Kingdom | International Mathematical Union (IMU)
Περιοδικό Quantum - Ελληνική Έκδοση
Geometry Problems from International Mathematical Olympiad
University of Waterloo - Mathematics Contests
Mathematical Association of America
Association pour l’animation mathématique
Institute for Mathematics and Computer Science (IMACS)
The William Lowell Putnam Mathematics Competition (Archive 1985 - 2021)
Art of Problem Solving ONLINE
problem 4 : c>0, άρα c=(√(2a^2 + b^2))/3, 2c/a=(2√(2+(b^2/a^2)))/3, c/b=(√(2(a^2/b^2)+1))/3. Θέτουμε x=b^2/a^2 και έχουμε τη συνάρτηση f(x)=2(√(x^2 + 2))/3 + (√(2/x^2 +1))/3 ,x>0, f'(x)=(2x^3-2)/((3x^2)(√(x^2 + 1)≥0,άρα x≥1 και η f(x) παρουσιάζει ελάχιστο στο x=1 το √3.
ΑπάντησηΔιαγραφήproblem 254: Από ανισότητα AM-GM √(abc)(√a + √b + √c)≥3cuberoot((a^2)(b^2)(c^2).Επίσης (a+b+c)^2=3((a+b+c)^2)/3 και από AM-GM: 3cuberoot((a^2)(b^2)(c^2) + 3((a+b+c)^2)/3≥4(fourthroot(3(cuberoot((a^2)(b^2)(c^2))*((a+b+c)^6)/27),αλλά (a+b+c)^4≥3^4(cuberoot(a^4)(b^4)(c^4)) από AM-GM. Επομένως 4(fourthroot(3(cuberoot((a^2)(b^2)(c^2))*((a+b+c)^6)/27=4(fourthroot(cuberoot((a^6)(b^6)(c^6))*9*(a+b+c)^2)=√(3abc(a+b+c))
problem 352:a,b,c≥1 . Ισχύουν τα εξής: a^2,b^2,c^2≥1, bc/(√(bc) + 1)≥1/2, ca/(√(ca) + 1)≥1/2, ab/(√(ab) + 1)≥1/2,από όπου προκύπτει προφανώς η ζητούμενη ανισότητα (2x^2≥x+1, αφού (x-1)(2x+1)≥0 για x≥1)
problem 470: Κάνοντας τις πράξεις καταλήγουμε στην ανισότητα 2(a^6)(b^3) + 2(b^6)(c^3) + 2(a^3)(c^6) + 2(a^6)(b^2)c + 2a(b^6)(c^2) + 2(a^2)b(c^6) + 4(a^4)(b^5) + 4(b^4)(c^5) + 4(a^5)(c^4) + 4a(b^4)(c^4) + 4(a^4)b(c^4) + 4(a^4)(b^4)c + 3(a^4)(b^3)(c^2) + 3(a^3)(b^2)(c^4) + 3(a^2)(b^4)(c^3) + (a^3)(b^4)(c^2) + (a^4)(b^2)c^3) + (a^2)(b^3)(c^4) - 2(a^3)b(c^5) - 2a(b^5)(c^3) - 2(a^5)(b^3)c - 8a(b^3)(c^5) - 8(a^5)b(c^3) - 8(a^3)(b^5)c - 24(a^3)(b^3)(c^3)≥0, η οποία με ισοδυναμίες καταλήγει στην ανισότητα : 4(a^5)(c^2)(b-c)^2 + 4(a^2)(b^5)(c-a)^2 + 4(b^2)(c^5)(a-b)^2 + (a^4)(b^3)(c-a)^2 + (b^4)(c^3)(a-b)^2 + (a^3)(c^4)(b-c)^2 + (a^2)b(c^4)(b-c)^2 + (a^4)(b^2)c(c-a)^2 + a(b^4)(c^2(a-b)^2 + (2(a^4)(b^3)(c^2) + 2(a^3)(b^2)(c^4) + 2(a^2)(b^4)(c^3) - 6(a^3)(b^3)(c^3)) + ((a^6)(b^3) + (b^6)(c^3) + (a^3)(c^6) - 3(a^3)(b^3)(c^3)) + (a(b^6)(c^2) + (a^2)b(c^6) + (a^6)(b^2)c - 3(a^3)(b^3)(c^3)) + (4(a(b^4)(c^4) + 4(a^4)b(c^4) + 4(a^4)(b^4)c - 12(a^3)(b^3)(c^3))≥0, που ισχύει (στις 4 τελευταίες παρενθέσεις εφαρμόζεται η ανισότητα AM-GM).