Ο Νίκος και ο Φάνης παίζουν ένα παιχνίδι. Ρίχνουν ένα αμερόληπτο νόμισμα στον αέρα επανειλημμένα. Ο Νίκος κερδίζει μόλις εμφανιστεί η σειρά ΚΚΓ.
Ο Φάνης κερδίζει όταν εμφανιστεί η σειρά ΓΚΓ. Το παιχνίδι τελειώνει όταν κερδίζει ένας από αυτούς.
Ποιες είναι οι πιθανότητες νίκης για κάθε παίκτη;
Ο Φάνης κερδίζει όταν εμφανιστεί η σειρά ΓΚΓ. Το παιχνίδι τελειώνει όταν κερδίζει ένας από αυτούς.
Ποιες είναι οι πιθανότητες νίκης για κάθε παίκτη;
Μοντελοποιώντας το πρόβλημα με χρήση μαρκοβιανών αλυσίδων και αναζητώντας τις τελικές πιθανότητες μέχρι την "απορρόφηση" για τις περιπτώσεις ΗΗΤ (ΚΚΓ) και ΤΗΤ (ΓΚΓ), έχουμε: με χρήση R)
ΑπάντησηΔιαγραφήHHT THT
0.625 0.375
Αναζητώντας τον αναμενόμενο αριθμό βημάτων μέχρι την απορρόφηση, με παρόμοιo τρόπο βρίσκω
# ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΓΚΓ: 10
# ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΚΚΓ: 8
# ΚΩΔΙΚΑΣ R
library(markovchain)
library(matlab)
flippingMatr <- matrix(0, nrow=15, ncol=15)
flippingMatr[1,c(2,3)] <- 0.5
flippingMatr[2,c(5,7)] <- 0.5
flippingMatr[3,c(4,6)] <- 0.5
flippingMatr[4,c(12,13)] <- 0.5
flippingMatr[5,c(10,11)] <- 0.5
flippingMatr[6,c(14,15)] <- 0.5
flippingMatr[7,c(8,9)] <- 0.5
flippingMatr[8,c(8,9)] <- 0.5
flippingMatr[9,c(9)] <- 1
flippingMatr[10,c(12,13)] <- 0.5
flippingMatr[11,c(14,15)] <- 0.5
flippingMatr[12,c(8,9)] <- 0.5
flippingMatr[13,c(13)] <- 1
flippingMatr[14,c(12,13)] <- 0.5
flippingMatr[15,c(14,15)] <- 0.5
rownames(flippingMatr) <-
colnames(flippingMatr) <- c("E","H","T","TH","HT","TT","HH","HHH","HHT","HTH","HTT","THH","THT","TTH","TTT")
flippingMc <- as(flippingMatr,"markovchain")
mcObj <- canonicForm(object = flippingMc)
#get the indices of transient and absorbing
transIdx <- which(states(mcObj) %in% transientStates(mcObj))
absIdx <- which(states(mcObj) %in% absorbingStates(mcObj))
#get the Q, R and I matrices
Q <- as.matrix(mcObj@transitionMatrix[transIdx,transIdx])
R <- as.matrix(mcObj@transitionMatrix[transIdx,absIdx])
I <- as.matrix(mcObj@transitionMatrix[absIdx, absIdx])
#get the fundamental matrix
N <- solve(eye(size(Q)) - Q)
#computing final absorbion probabilities
NR <- N %*% R
NR["E",]
Αν ριχτεί το ζάρι τις δύο πρώτες φορές, οι πιθανότητες να έλθει ΚΚ, ΚΓ, ΓΚ ή ΓΓ είναι όλες 1/4. Αν Ρ(Ν) είναι η πιθανότητα να κερδίσει το παιχνίδι ο Νίκος και Ρ(ΚΚ), Ρ(ΚΓ), Ρ(ΓΚ) και Ρ(ΓΓ) οι επιμέρους πιθανότητες να το κερδίσει ξεκινώντας από τις αντίστοιχες εκβάσεις των δύο πρώτων ρίψεων, τότε έχουμε:
ΑπάντησηΔιαγραφήΡ(Α) = 1/4*Ρ(ΚΚ)+1/4*Ρ(ΚΓ)+1/4*Ρ(ΓΚ)+1/4*Ρ(ΓΓ) (1)
Δεδομένου επίσης ότι το αποτέλεσμα κάθε επόμενης ζαριάς είναι Κ με πιθανότητα 1/2 ή Γ με πιθανότητα 1/2, έχουμε τις ακόλουθες σχέσεις μετάβασης:
Ρ(ΚΚ) = 1/2*Ρ(ΚΚ)+1/2*1
Ρ(ΚΓ) = 1/2*Ρ(ΓΚ)+1/2*Ρ(ΓΓ)
Ρ(ΓΚ) = 1/2*Ρ(ΚΚ)+1/2*0
Ρ(ΓΓ) = 1/2*Ρ(ΓΚ)+1/2*Ρ(ΓΓ)
Η επίλυση του συστήματος των πιο πάνω σχέσεων μετάβασης δίνει:
Ρ(ΚΚ) = 1 και Ρ(ΚΓ) = Ρ(ΓΚ) = Ρ(ΓΓ) = 1/2.
Αντικαθιστώντας στην (1) έχουμε:
Ρ(Ν) = 1/4*1+1/4*1/2*1/4*1/2+1/4*1/2 = 5/8
Επομένως οι πιθανότητες είναι 5/8 υπέρ του Νίκου και 3/8 υπέρ του Φάνη.
Στην (1) διορθώνω Ρ(Ν) αντί Ρ(Α).
ΔιαγραφήΕπίσης Ρ(Ν) = 1/4*1+1/4*1/2+1/4*1/2+1/4*1/2 = 5/8
ΔιαγραφήΠιο απλά:
ΑπάντησηΔιαγραφήΑν οι δύο πρώτες ρίψεις φέρουν ΚΚ, τότε είναι βέβαιο ότι η ακολουθία θα τελειώσει με ΚΚΓ, ενώ αν φέρουν ΚΓ, ΓΚ, ΓΓ τότε οι πιθανότητες να τελειώσει με ΚΚΓ ή ΓΚΓ είναι μοιρασμένες. Επομένως, η πιθανότητα νίκης του Νίκου είναι 1/4*1+3/4*1/2=5/8 και η πιθανότητα νίκης του Φάνη 1/4*0+3/4*1/2=3/8