Σάββατο, 2 Μαρτίου 2019

Κορώνα - Γράμματα

Ο Νίκος και ο Φάνης παίζουν ένα παιχνίδι. Ρίχνουν ένα αμερόληπτο νόμισμα στον αέρα επανειλημμένα. Ο Νίκος κερδίζει μόλις εμφανιστεί η σειρά ΚΚΓ.
Ο Φάνης κερδίζει όταν εμφανιστεί η σειρά ΓΚΓ. Το παιχνίδι τελειώνει όταν κερδίζει ένας από αυτούς.
Ποιες είναι οι πιθανότητες νίκης για κάθε παίκτη;

5 σχόλια:

  1. Μοντελοποιώντας το πρόβλημα με χρήση μαρκοβιανών αλυσίδων και αναζητώντας τις τελικές πιθανότητες μέχρι την "απορρόφηση" για τις περιπτώσεις ΗΗΤ (ΚΚΓ) και ΤΗΤ (ΓΚΓ), έχουμε: με χρήση R)

    HHT THT
    0.625 0.375

    Αναζητώντας τον αναμενόμενο αριθμό βημάτων μέχρι την απορρόφηση, με παρόμοιo τρόπο βρίσκω

    # ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΓΚΓ: 10
    # ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΚΚΓ: 8

    # ΚΩΔΙΚΑΣ R
    library(markovchain)
    library(matlab)

    flippingMatr <- matrix(0, nrow=15, ncol=15)
    flippingMatr[1,c(2,3)] <- 0.5
    flippingMatr[2,c(5,7)] <- 0.5
    flippingMatr[3,c(4,6)] <- 0.5
    flippingMatr[4,c(12,13)] <- 0.5
    flippingMatr[5,c(10,11)] <- 0.5
    flippingMatr[6,c(14,15)] <- 0.5
    flippingMatr[7,c(8,9)] <- 0.5
    flippingMatr[8,c(8,9)] <- 0.5
    flippingMatr[9,c(9)] <- 1
    flippingMatr[10,c(12,13)] <- 0.5
    flippingMatr[11,c(14,15)] <- 0.5
    flippingMatr[12,c(8,9)] <- 0.5
    flippingMatr[13,c(13)] <- 1
    flippingMatr[14,c(12,13)] <- 0.5
    flippingMatr[15,c(14,15)] <- 0.5

    rownames(flippingMatr) <-
    colnames(flippingMatr) <- c("E","H","T","TH","HT","TT","HH","HHH","HHT","HTH","HTT","THH","THT","TTH","TTT")

    flippingMc <- as(flippingMatr,"markovchain")

    mcObj <- canonicForm(object = flippingMc)
    #get the indices of transient and absorbing
    transIdx <- which(states(mcObj) %in% transientStates(mcObj))
    absIdx <- which(states(mcObj) %in% absorbingStates(mcObj))
    #get the Q, R and I matrices
    Q <- as.matrix(mcObj@transitionMatrix[transIdx,transIdx])
    R <- as.matrix(mcObj@transitionMatrix[transIdx,absIdx])
    I <- as.matrix(mcObj@transitionMatrix[absIdx, absIdx])
    #get the fundamental matrix
    N <- solve(eye(size(Q)) - Q)
    #computing final absorbion probabilities
    NR <- N %*% R
    NR["E",]

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Αν ριχτεί το ζάρι τις δύο πρώτες φορές, οι πιθανότητες να έλθει ΚΚ, ΚΓ, ΓΚ ή ΓΓ είναι όλες 1/4. Αν Ρ(Ν) είναι η πιθανότητα να κερδίσει το παιχνίδι ο Νίκος και Ρ(ΚΚ), Ρ(ΚΓ), Ρ(ΓΚ) και Ρ(ΓΓ) οι επιμέρους πιθανότητες να το κερδίσει ξεκινώντας από τις αντίστοιχες εκβάσεις των δύο πρώτων ρίψεων, τότε έχουμε:
    Ρ(Α) = 1/4*Ρ(ΚΚ)+1/4*Ρ(ΚΓ)+1/4*Ρ(ΓΚ)+1/4*Ρ(ΓΓ) (1)
    Δεδομένου επίσης ότι το αποτέλεσμα κάθε επόμενης ζαριάς είναι Κ με πιθανότητα 1/2 ή Γ με πιθανότητα 1/2, έχουμε τις ακόλουθες σχέσεις μετάβασης:
    Ρ(ΚΚ) = 1/2*Ρ(ΚΚ)+1/2*1
    Ρ(ΚΓ) = 1/2*Ρ(ΓΚ)+1/2*Ρ(ΓΓ)
    Ρ(ΓΚ) = 1/2*Ρ(ΚΚ)+1/2*0
    Ρ(ΓΓ) = 1/2*Ρ(ΓΚ)+1/2*Ρ(ΓΓ)
    Η επίλυση του συστήματος των πιο πάνω σχέσεων μετάβασης δίνει:
    Ρ(ΚΚ) = 1 και Ρ(ΚΓ) = Ρ(ΓΚ) = Ρ(ΓΓ) = 1/2.
    Αντικαθιστώντας στην (1) έχουμε:
    Ρ(Ν) = 1/4*1+1/4*1/2*1/4*1/2+1/4*1/2 = 5/8
    Επομένως οι πιθανότητες είναι 5/8 υπέρ του Νίκου και 3/8 υπέρ του Φάνη.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. Πιο απλά:

    Αν οι δύο πρώτες ρίψεις φέρουν ΚΚ, τότε είναι βέβαιο ότι η ακολουθία θα τελειώσει με ΚΚΓ, ενώ αν φέρουν ΚΓ, ΓΚ, ΓΓ τότε οι πιθανότητες να τελειώσει με ΚΚΓ ή ΓΚΓ είναι μοιρασμένες. Επομένως, η πιθανότητα νίκης του Νίκου είναι 1/4*1+3/4*1/2=5/8 και η πιθανότητα νίκης του Φάνη 1/4*0+3/4*1/2=3/8

    ΑπάντησηΔιαγραφή