Τετάρτη, 20 Μαρτίου 2019

Δύσκολο όριο


 Να υπολογιστεί το όριο:
$$\lim_{x \to\infty}(e^{\sqrt{x^{2}+1}}- e^x)$$



2 σχόλια:

  1. ΘΜΤ για τη συνάρτηση f(x)=e^x στο [x, sqrt(x^2+1)]
    υπάρχει ξ, με x < ξ < sqrt(x^2+1), τέτοιο ώστε
    f'(ξ)=(παράσταση ορίου)/(sqrt(x^2+1)-x)
    άρα, [f(sqrt(x^2+1)-f(x)] = f'(ξ)(sqrt(x^2+1)-x) (1)
    x+oo

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. x<ξ, e^x<e^ξ, άρα e^x(sqrt(x^2+1)-x)< e^ξ(sqrt(x^2+1)-x) lim[e^x(sqrt(x^2+1)-x)]=lim[e^x/(sqrt(x^2+1)+x)]=
    =lim[e^x/x].1/2=+oο
    άρα lim[e^ξ(sqrt(x^2+1)-x)]=lim[f(sqrt(x^2+1)-f(x)]=+oo

    ΑπάντησηΔιαγραφή