Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2019 (9η τάξη) - Πρόβλημα 3ο

Σε οξυγώνιο τρίγωνο  φέρουμε τα ύψη  και . Έστω  το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου . Να αποδείξετε, ότι η απόσταση του σημείου  από την ευθεία  είναι ίση με την απόσταση του σημείου  από την ευθεία .

Λύση

Αρκεί να δείξουμε ότι $(AOB') = (BOA')$ αφού έχουν βάσεις  $OA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,OB$ ίσες. Είναι:

$2(AOB') = AO \cdot AB' \cdot \sin \theta  = R \cdot AB' \cdot \dfrac{{BA'}}{c}$   και
$2(BOA') = AO \cdot BA' \cdot \sin \omega  = AO \cdot BA' \cdot \cos A$,
ή

$2(BOA') = AO \cdot BA' \cdot \dfrac{{AB'}}{c}$.
Άρα $(AOB') = (BOA')$