Τετάρτη, 21 Νοεμβρίου 2018

Άλματα βάτραχου

Ένας βάτραχος τοποθετείται στην αρχή των των αξόνων $Ο(0,0)$ στο επίπεδο συντεταγμένων. Από το σημείο $ (x, y) $, ο βάτραχος μπορεί να μεταπηδήσει σε οποιοδήποτε από τα σημεία 
$ (χ + 1, γ), (χ + 2, γ), (χ, γ + 1)$ ή $(x, y + 2)$. 
Βρείτε τον αριθμό των διαφορετικών ακολουθιών των αλμάτων, με τα οποία ο βάτραχος αρχίζει από το σημείο $ (0,0)$ και τελειώνει στο $(4,4) $.
AIME 2018

1 σχόλιο:

  1. Για να φτάσει από το (0,0) στο (4,4) θα πρέπει να μετακινηθεί κατά 4 μοναδιαία μήκη σε κάθε κατεύθυνση. Αυτό γίνεται ανά κατεύθυνση με τους εξής τρόπους:
    4 άλματα: και τα 4 μήκους 1 ή
    3 άλματα: 2 μήκους 1 & 1 μήκους 2 ή
    2 άλματα: και τα 2 μήκους 2.
    Τα 3 άλματα ανά κατεύθυνση διατάσσονται μεταξύ τους με C(3,1)=3 τρόπους, ανάλογα με τη σειρά που γίνεται το άλμα μήκους 2 σε σχέση με τα άλματα μήκους 1.
    Έχουμε επομένως τις εξής περιπτώσεις α×β αλμάτων συνολικά:
    4×4: C(8,4)=70
    4×3 ή 3×4: 2×C(7,3)×3=210
    4×2 ή 2×4: 2×C(6,2)=30
    3×2 ή 2×3: 2×C(5,2)×3=60
    3×3: C(6,3)×3×3=180
    2×2: C(4,2)=6
    Συνολικά 556 τρόποι

    ΑπάντησηΔιαγραφή