Δευτέρα, 5 Νοεμβρίου 2018

Τρία προβλήματα

Να βρεθούν όλα τα πολυώνυμα $P(x)$ με πραγματικούς συντελεστές για τα οποία ισχύει
$P(P (x)) = (x^2 + x + 1)\cdot P(x)$
όπου $x \in \mathbb{R}$.
---------------
Ο φυσικός αριθμός $Μ$ έχει $6$ διαιρέτες, των οποίων το άθροισμα είναι ίσο με $3500$. 
Να βρεθεί ο αριθμός $Μ$.
---------------
Στο κυρτό τετράπλευρο $ABCD$ με $\angle{BAD}=90^0$ και
$\angle{BAC}=2\cdot\angle{BDC}$ και $\angle{DBA}+\angle{DCB}=180^0$
Να βρεθεί η γωνία $\angle{DBA}$.
Azerbaijan National Olympiad 2015

6 σχόλια:

  1. Αφού χαιρετήσω πρώτα τους αξιότιμους συντελεστές και τους παλιόφιλους αυτού του θρυλικού ιστολογίου (γεια σου Σωκράτη, γεια σου Γιώργη Ριζόπουλε, γεια σου Ευθύμη Αλεξίου, Στράτο, Σωτήρη, ...), θα κάνω μια προσπάθεια στα δύο από τα τρία προβλήματα:

    1. Αν το πολυώνυμο P(x) είναι βαθμού ν, τότε το πολυώνυμο P(P(x)) είναι βαθμού 2ν, ενώ το πολυώνυμο (x^2+x+1)*P(x) είναι βαθμού ν+2. Επομένως 2ν=ν+2 => ν=2.
    Θέτοντας P(x)=ax^2+bx+c, αντικαθιστώντας στην συναρτησιακή ισότητα που δίνεται και εξισώνοντας, μετά από τις αναγωγές, τους συντελεστές των όμοιων όρων στα δύο σκέλη, καταλήγουμε a=1, b=1, c=0. Επομένως P(x)=x^2+x

    2. Ο Μ είναι της μορφής p^5 με διαιρέτες τους 1, p, p^2, p^3, p^4, p^5 ή της μορφής p1*p2^2, με διαιρέτες τους 1, p1, p2, p1*p2, p2^2, p1*p2^2, όπου p, p1, p2 πρώτοι με p1#p2. Εξισώνοντας και στη μία και στην άλλη περίπτωση το άθροισμα των 6 διαιρετών του Μ με 3500 και με λίγη άλγεβρα, διαπιστώνουμε εύκολα ότι η μόνη περίπτωση που λειτουργεί είναι η δεύτερη με τιμές p1=499, p2=2 και Μ=499*2^2=1996. Πράγματι, οι διαιρέτες του 1996 είναι 6, ήτοι οι 1, 2, 4, 499, 998, 1996 και το άθροισμά τους είναι 3500.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Διορθώνω: βαθμός P(P(x)) ο ν^2 και
    ν^2 = ν+2 => ν=2

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. Έχω την εντύπωση πάντως ότι στο θέμα 1 δεν έχουμε τελειώσει😊..

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  4. Μια και υπάρχει επίσης το πολυώνυμο P(x)=0.

    ΑπάντησηΔιαγραφή