59th International Mathematical Olympiad 2018 - ΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

1η ΗΜΕΡΑ

Πρόβλημα 1ο

Έστω οξυγώνιο τρίγωνο και έστω ο περιγεγραμμένος κύκλος του. Τα σημεία και βρίσκονται στα τμήματα και αντίστοιχα ώστε . 

Οι μεσοκάθετες των και τέμνουν τα μικρά τόξα και του στα σημεία και αντίστοιχα. Να αποδειχθεί ότι οι ευθείες και είτε είναι παράλληλες είτε είναι οι ταυτόσημες.

Πρόβλημα 2ο

Να βρεθούν όλοι οι ακέραιοι για τους οποίους υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί οι οποίοι ικανοποιούν

,

και 

για .

Πρόβλημα 3ο

Ένα τρίγωνο αντι-Πασκάλ είναι μια τριγωνική διάταξη αριθμών έτσι ώστε εκτός από τους αριθμούς της τελευταίας σειράς, κάθε αριθμός είναι η απόλυτη τιμή της διαφοράς των δύο αριθμών που βρίσκονται αμέσως από κάτω του. Π.χ. το πιο κάτω είναι ένα τρίγωνο αντι-Πασκάλ με τέσσερις σειρές που περιέχει κάθε αριθμό από το ως το .

Υπάρχει τρίγωνο αντι-Πασκάλ με σειρές το οποίο να περιέχει κάθε ακέραιο από το ως το ;

2η ΗΜΕΡΑ

Πρόβλημα 4ο

Ένα κελί, είναι ένα σημείο του επιπέδου ώστε τα και να είναι και τα δύο θετικοί ακέραιοι μικρότεροι ή ίσοι του .

Αρχικά υπάρχουν κενά κελιά. Ο Αντρέας και ο Βασίλης τοποθετούν εναλλάξ πέτρες στα κελιά με τον Αντρέα να αρχίζει πρώτος. Σε κάθε του κίνηση, ο Αντρέας τοποθετεί μια κόκκινη πέτρα σε ένα κενό κελί με τέτοιο τρόπο ώστε κάθε δυο κελιά με κόκκινες πέτρες να μην έχουν απόσταση ίση με . Σε κάθε του κίνηση, ο Βασίλης τοποθετεί μια μπλε πέτρα σε ένα κενό κελί. (Ο Βασίλης επιτρέπεται να τοποθετήσει πέτρα σε οποιαδήποτε απόσταση από άλλη πέτρα θέλει.) Σταματούν όταν ένας εκ των δύο δεν μπορεί να τοποθετήσει άλλη πέτρα.

Να βρεθεί το μέγιστο ώστε ο Αντρέας να μπορεί σίγουρα να τοποθετήσει κόκκινες πέτρες, άσχετα με το πως τοποθετεί τις πέτρες του ο Βασίλης.

Πρόβλημα 5ο

Δίνεται μια άπειρη ακολουθία θετικών ακεραίων. Έστω ότι υπάρχει ακέραιος ώστε για κάθε , ο αριθμός

να είναι ακέραιος. Να δειχθεί ότι υπάρχει θετικός ακέραιος έτσι ώστε για κάθε .

Πρόβλημα 6ο

Ένα κυρτό τετράπλευρο ικανοποιεί = . Σημείο στο εσωτερικό του είναι τέτοιο ώστε και .

Να δειχθεί ότι .

Πηγή