Κυριακή, 27 Μαΐου 2018

Ένα απαιτητικό θέμα!

Θεωρούμε τις συναρτήσεις    με
και .
α) Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο
β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της .
γ) Να αποδείξετε ότι η έχει άπειρα κρίσιμα σημεία.
δ) Να αποδείξετε ότι ισχύει
 
για κάθε
ε) Να αποδείξετε ότι η έχει μοναδική ρίζα , η οποία βρίσκεται στο διάστημα
στ) Να αποδείξετε ότι για το εμβαδόν του χωρίου, το οποίο περικλείεται από την και τους άξονες ισχύει
.

1 σχόλιο:

  1. Για το πρώτο ερώτημα (αυτό πρόλαβα).
    Έστω η συνάρτηση φ(χ)=1+xe^x-e^x+x^2e^x.
    Η συγκεκριμένη συνάρτηση στο διάστημα [-3,+άπειρο) έχει ελάχιστο το φ(0)=0.
    Ισχύει ότι f΄(x)=φ(συνx) με -1==0 και επομένως f΄(x)>=0.
    Η ισότητα ισχύει για x=κπ+π/2 (όπου συνx=0)
    δλδ f΄(x)>0 για x διαφορετικό από το κπ+π/2 με την f όμως να είναι συνεχής στο R.
    Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο R.

    ΑπάντησηΔιαγραφή