Κυριακή, 11 Φεβρουαρίου 2018

$\displaystyle 2017 \circ 2018=?$


  Αν
$\displaystyle 1 \circ 1=3$
  και
$\displaystyle a\circ b=b\circ a$

$\displaystyle a \circ (b+1) = a\circ b + (a+1) + 2b$


  όπου $a,b$ θετικοί ακέραιοι, τότε

$\displaystyle 2017 \circ 2018=?$

2 σχόλια:

  1. αο(α+1) = αοα + α + 1 + 2α
    αο(α+1) = αοα + 3α + 1
    αο(α+1) = αο(α-1) + α + 1 + 2(α -1) + 3α + 1
    αο(α+1) = (α-1)οα + 6α (1)

    Από την (1) διαδοχικά έχουμε:
    αο(α+1) = (α-1)οα + 6α
    (α-1)οα = (α-2)ο(α-1) + 6(α-1)
    (α-2)ο(α-1) = (α-3)ο(α-2) + 6(α-2)

    4ο5 = 3ο4 + 6*4
    3ο4 = 2ο3 + 6*3
    2ο3 = 1ο2 + 6*2
    Τέλος 1ο2 = 1ο1 + 4 = 7 = 1 + 6
    Με πρόσθεση κατά μέλη και διαγραφή των ομοίων όρων στα δύο μέλη έχουμε:
    αο(α+1) = 1 + 6 + 6*2 + 6*3 + … + 6(α-1) + 6α
    αο(α+1) = 1 + 6*[1 + 2 + 3 + … + (α-1) + α]
    αο(α+1) = 1 + 6α(α+1)/2
    αο(α+1) = 1 + 3α(α+1)
    Για α = 2017 έχουμε : 2017ο2018 = 1 + 3*2017*2018 = 12.210.919

    ΑπάντησηΔιαγραφή