Αν
$\displaystyle 1 \circ
1=3$
και
$\displaystyle a\circ b=b\circ a$
$\displaystyle a \circ (b+1) = a\circ b +
(a+1) + 2b$
όπου $a,b$ θετικοί ακέραιοι, τότε
$\displaystyle 2017 \circ 2018=?$
Algebra, Geometry, International Mathematical Olympiads, Recreational Mathematics, Math contests, Puzzles, Brainteasers, Number Theory, Combinatorics, Logic, Paradox
12210919
ΑπάντησηΔιαγραφήαο(α+1) = αοα + α + 1 + 2α
ΑπάντησηΔιαγραφήαο(α+1) = αοα + 3α + 1
αο(α+1) = αο(α-1) + α + 1 + 2(α -1) + 3α + 1
αο(α+1) = (α-1)οα + 6α (1)
Από την (1) διαδοχικά έχουμε:
αο(α+1) = (α-1)οα + 6α
(α-1)οα = (α-2)ο(α-1) + 6(α-1)
(α-2)ο(α-1) = (α-3)ο(α-2) + 6(α-2)
…
4ο5 = 3ο4 + 6*4
3ο4 = 2ο3 + 6*3
2ο3 = 1ο2 + 6*2
Τέλος 1ο2 = 1ο1 + 4 = 7 = 1 + 6
Με πρόσθεση κατά μέλη και διαγραφή των ομοίων όρων στα δύο μέλη έχουμε:
αο(α+1) = 1 + 6 + 6*2 + 6*3 + … + 6(α-1) + 6α
αο(α+1) = 1 + 6*[1 + 2 + 3 + … + (α-1) + α]
αο(α+1) = 1 + 6α(α+1)/2
αο(α+1) = 1 + 3α(α+1)
Για α = 2017 έχουμε : 2017ο2018 = 1 + 3*2017*2018 = 12.210.919