Nα αποδείξετε ότι $χ=30^0$.
Algebra, Geometry, International Mathematical Olympiads, Recreational Mathematics, Math contests, Puzzles, Brainteasers, Number Theory, Combinatorics, Logic, Paradox
Εγγραφή σε:
Σχόλια ανάρτησης (Atom)
Algebra, Geometry, International Mathematical Olympiads, Recreational Mathematics, Math contests, Puzzles, Brainteasers, Number Theory, Combinatorics, Logic, Paradox
Το σημείο P, όπως προκύπτει από το σχήμα, είναι ένα σημείο του κύκλου (C,CA) και βρίσκεται στο εσωτερικό του ορθογώνιου ισοσκελούς τριγώνου CAB.
ΑπάντησηΔιαγραφήΓια γ.ACP=γ.CBP=x=30°:
γ.CAP=(180°-x)/2=75° => γ.PAB=15° και
γ.PBA=45°-x=15°, επομένως το τρίγωνο PAB είναι ισοσκελές με βάση ΑΒ, οπότε το σημείο Ρ ανήκει και στη μεσοκάθετο του τμήματος ΑΒ.
Αν το σημείο P μετακινηθεί από αυτή τη θέση, πάνω στο τόξο του κύκλου (C,CA) και στο εσωτερικό του τριγώνου CAB, τότε οι γωνίες CAP και CBP θα μεταβληθούν αντίθετα, δηλαδή η μία θα γίνει μεγαλύτερη και η άλλη μικρότερη από 30°. Επομένως μοναδική δυνατή τιμή x είναι η x=30°.
Η πιο πάνω απόδειξη είναι ίσως αρκετά ταχυδακτυλουργική, καθώς θεωρείται δεδομένο ότι αν γ.ACP=30°, τότε και γ.CBP=30°. Αυτό πάντως αποδεικνύεται αν ορίσουμε ως Π σημείο του κύκλου (C,CA) τέτοιο ώστε γ.ACΠ)=30°, και υπολογίσουμε το μήκος του ΠΑ και την απόσταση του Π από το τμήμα AΒ (με χρήση τριγωνομετρικών συναρτήσεων γωνιών 15° και 30°). Έτσι, εύκολα διαπιστώνουμε, μέσω Π.Θ., ότι η κάθετη από το Π προς το τμήμα ΑΒ το τέμνει στο μέσο του, συνεπώς τα σημεία Π και Ρ ταυτίζονται και γ.ΡΑΒ=γ.ΡΒΑ=15° => γ.CPB=30°
ΑπάντησηΔιαγραφήCA=CP=AB
ΑπάντησηΔιαγραφή<CAP=<CPA=90-x/2
<PAB=x/2
<PBA=45-x
<PAB+<PBA=x2+45-x2=45-x/2
<APB=180-(45-x/2)
Νομος ημιτονων στα τριγωνα CAP και PAB:
PA/CA=PA/AB=sin(<ACP)/sin(<CPA)=sin(<PBA)/sin(<APB)
sinx/sin(90-x/2)=sin(45-x)/sin(180-(45-x/2))
2sin(x/2)cos(x/2)/cos(x/2)=sin(45-x)/sin(45-x/2)
2sin(x/2)=sin(45-x)/sin(45-x/2)
2sin(x/2)sin(45-x/2)=sin(45-x)
cos(x-45)-cos45=sin(45-x)=cos(45+x)
cos(x-45)-cos(45+x)=cos45
2sinxcos45=cos45
2sinx=1
sinx=1/2
x=30
Γεωμετρικη λυση.
ΑπάντησηΔιαγραφήΑρκει να δειξουμε οτι: PA=PB οποτε θα ειναι:
PAB=PBA -> x/2=45-x -> x=90-2x -> 3x=90 -> x=30
Εστω PM καθετος στην AB και E το σημειο τομης της προεκτασης της PB με την AC.
H
CE=PE*sqrt(2)=BE/sqrt(2) -> BE=2*PE
Απο την ομοιοτητα των τριγωνων BEA και BMP προκυπτει οτι: BA=2*AM
Αρα η PM ειναι μεσοκαθετος της AB και συνεπως:
PA=PB, ο.ε.δ.
Δεν ξερω γιατι το προηγουμενο σχολιο μου το μσοεφαγε η μαρμαγκα. Επανορθωνω.
ΑπάντησηΔιαγραφήΓεωμετρικη λυση.
Αρκει να δειξουμε οτι: PA=PB οποτε θα ειναι:
PAB=PBA -> x/2=45-x -> x=90-2x -> 3x=90 -> x=30
Εστω PM καθετος στην AB και E το σημειο τομης της προεκτασης της PB με την AC.
H γωνια EPB ως εξωτερικη του τριγωνου CPB ειναι:
EPC=PBC+PCB=x+45-x=45
Tα τριγωνα CEB, CPE ειναι ομοια οποτε:
PE/CE=CE/BE=CP/BC=CA/CB=1/sqrt(2)
CE=PE*sqrt(2)=BE/sqrt(2)
2*PE=BE
Απο την ομοιοτητα των τριγωνων BEA και BMP προκυπτει οτι: BA=2*AM
Αρα η PM ειναι μεσοκαθετος της AB και συνεπως:
PA=PB, ο.ε.δ.