H συμβολή του Euler στην Γεωμετρία

Στην στοιχειώδη Γεωμετρία και τριγωνομετρία πραγματικά εκπλήσει το γεγονός ότι ο ασχολούμενος με την μελέτη του ωκεανού της επιστήμης (Ανάλυση) θα εύρισκε χρόνο να ασχοληθεί με την κλασική γεωμετρία και τριγωνομετρία. 

Σ' αυτόν οφείλεται η σχέση 

$BC · AD + CA · BD + ΑΒ · CD =0$  

μεταξύ $4$ σημείων μίας ευθείας της οποίας είναι γνωστή η εφαρμογή στη θεωρία των διπλών λόγων τετράδας σημείων. Επίσης η σχέση 

$α^2 +β^2 +γ^2 + δ^2 = ε^2 +ζ^2 +4d^2$

όπου $α, β, γ, δ$ οι πλευρές ενός τετραπλεύρου $ε, ζ$ οι δια γώνιοι και d το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των διαγωνίων. 

(Η σχέση αυτή βρέθηκε σε επιστολή στον Goldbach το $1745$). Εδώ είναι σημαντικό να γράψουμε ότι η τελική μορφή της εικασίας του Goldbach που ακόμα αναζητά τη λύση της, από την επιστήμη οφείλεται στον Euler. 

Πρώτος παρατήρησε ότι το ορθόκεντρο, βαρύκεντρο και περίκεντρο τριγώνου βρίσκονται στην ίδια ευθεία που ονομάστηκε ευθεία του Euler. Σ' αυτόν οφείλονται πολύτιμες γεωμετρικές κατασκευές. Στην στερεομετρία υπολογίζει τον όγκο τετραέδρου από τις ακμές καθώς και τον τύπο $α + β= γ+ 2$ ($α$ αριθμός εδρών, $β$ αριθμός κορυφών, $γ$ αριθμός ακμών).

ΕΥΚΛΕΊΔΗΣ Β΄ τ. 66