Στον $S$ δίνεται η τιμή $x + y$ και στον $P$ δίνεται η τιμή $xy$.
Στη συνέχεια, έχουν την ακόλουθη συζήτηση:
P: Δεν μπορώ να προσδιορίσω τους δύο αριθμούς.
Σ: Το ήξερα αυτό.
Π: Τώρα μπορώ να τα προσδιορίσω.
S: Το ίδιο μπορεί και εγώ.
Δεδομένου ότι οι παραπάνω δηλώσεις είναι αληθινές, ποιοι είναι οι δύο αριθμοί;
Από την πρώτη δήλωση του P συμπεραίνουμε ότι το γινόμενο xy δεν είναι γινόμενο δύο πρώτων αριθμών και από την πρώτη δήλωση του S ότι το άθροισμα x+y δεν μπορεί να γραφτεί ως άθροισμα δύο πρώτων αριθμών. Άρα σαν αθροίσματα εξαιρούνται οι άρτιοι και οι περιττοί που ακολουθούν πρώτους μεταξύ του 1 και του 100. Όλους τους εναπομείναντες αριθμούς τους αναλύουμε σε όλα τα πιθανά αθροίσματα 2 θετικών ακεραίων >1 και για κάθε τέτοιο αριθμό αποδεχόμαστε μόνο τα ζεύγη θετικών ακεραίων που έχουν γινόμενο που καθορίζει αυτό το ζεύγος μονοσήμαντα( πχ το 35 ,που δεν μπορεί να γραφτεί ως άθροισμα 2 πρώτων, γράφεται 35=31+4, 31*4=124=62*2 ,οπότε το ζεύγος (31,4) είναι αποδεκτό, ενώ 35=30+5,30*5=150=6*25=3*50 δεν είναι αποδεκτό αφού το 150 μπορεί να είναι και γινόμενο του 3 με το 50 και το 53=50+3 είναι και αυτό αριθμός που δεν μπορεί να γραφτεί ως άθροισμα 2 πρώτων (το 25+6=31 δεν μας απασχολεί διότι το 31 είναι περιττός που ακολουθεί πρώτο(29)).Από τη δεύτερη δήλωση του S συμπεραίνουμε ότι ο αριθμός-άθροισμα που έχει δοθεί σε αυτόν έχει ένα μοναδικό τέτοιο ζεύγος. Ο μοναδικός αριθμός μεταξύ 1 και 100(από τους εναπομείναντες), που έχει αυτήν την ιδιότητα είναι ο 17=13+4, 13*4=52. Επαλήθευση: Στον P δόθηκε το 52.Αφού δεν μπορεί να γραφτεί ως γινόμενο 2 πρώτων,52=2*26=4*13, ο P δεν μπορεί να γνωρίζει το σωστό ζεύγος. Στον S δόθηκε το 17 και αφού το 17 δεν μπορεί να γραφτεί ως άθροισμα 2 πρώτων ο S γνώριζε ότι ο P δεν θα μπορούσε να προσδιορίσει τους 2 αριθμούς. Όταν το άκουσε αυτό ο P κατάλαβε ότι το ζεύγος (2,26) δεν είναι αποδεκτό, αφού 2+26=28 και το 28 μπορεί να γραφτεί σαν άθροισμα 2 πρώτων, 28=23+5.Όταν ο S άκουσε ότι ο P προσδιόρισε τους αριθμούς συμπέρανε ότι το γινόμενο που γνώριζε ο P καθόριζε μονοσήμαντα το ζεύγος που αναζητούσαν και το μόνο τέτοιο ζεύγος που έχει άθροισμα 17 είναι το (13,4) ( πχ το (15,2) δίνει 15*2=30=5*6, αλλά 5+6=11 που δεν μπορεί να γραφτεί σαν άθροισμα 2 πρώτων και άρα ο P δεν θα μπορούσε να διαλέξει ανάμεσα στο (15,2) και το (5,6).).
ΑπάντησηΔιαγραφή