Δευτέρα, 2 Οκτωβρίου 2017

Ισημερινό πρόβλημα

Ένας ιμάντας τοποθετείται γύρω από τον ισημερινό της Γης. Ας υποθέσουμε ότι προσθέσατε επιπλέον 1 μέτρο μήκους στον ιμάντα, τον κρατήσατε σε ένα σημείο και τον σηκώσατε μέχρι να τεντωθεί. 
Πόσο ψηλά θα ήταν πάνω από την επιφάνεια της Γης; Δηλαδή, βρείτε το h στο παραπάνω σχήμα.
Υποθέστε ότι η Γη είναι μια τέλεια σφαίρα ακτίνας 6400 χιλιομέτρων.
------------------
Δείτε την εντυπωσιακή λύση (!) που μου έστειλαν ο κ. Κώστας Δόρτσιος (Μαθηματικός, τ. σχ. σύμβουλος) με τον κ. Χρόνη Μωυσιάδη (καθηγητής στο Α.Π.Θ.):
Το όλο δρώμενο μπορείτε να το δείτε σε αρχείο geogebra εδώ.

10 σχόλια:

  1. Βάσει του τύπου p = 2πR βρίσκουμε το μήκος της περιφέρειας της Γης.
    p = Περιφέρεια Γης.
    π = 3,14159
    r = Ακτίνα Γης.
    Εάν "α" είναι η απόσταση του σύρματος από την επιφάνεια της Γης, τότε το μήκος
    της νέας περιφέρειας γύρω από τον Ισημερινό, μετά την προσθήκη των 1μ. ιμάντα, θα είναι p = 2π(R+α), οπότε η απόσταση ανάμεσα στον ιμάντα και στην επιφάνεια της Γης θα είναι:
    2π(R+α) - 2πR = 1
    2πR + 2πα - 2πR = 1
    2πα = 1
    α =1/2π
    α = 1/6,28318
    α = 0,1590μ.
    α = 15,90εκ.(≈ 16εκ.) ο.ε.δ.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Έχω την εντύπωση ότι το σχόλιό σας απαντά σε κάποιο άλλο ερώτημα.

      Διαγραφή
    2. Αυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.

      Διαγραφή
  2. Έχετε δίκιο. Το υπολόγισα σε μέτρα και εκατοστά, ενώ θα έπρεπε να το υπολογίσω σε χιλιόμετρα. Οπότε είναι:
    α=1,60χλμ.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Όχι, μιλάτε για κάποιο δεύτερο κύκλο, που δεν καταλαβαίνω τι σχέση έχει με το πρόβλημα

      Διαγραφή
    2. Τελικά η απάντησή μου αφορά ένα άλλο παρόμοιο πρόβλημα, οπότε παραιτούμαι από τη λύση του. Δυστυχώς η γεωμετρία δεν είναι το φόρτε μου. Περιμένω να δώ τη λύση του.

      Διαγραφή
  3. Αν η απόσταση από την κορυφή του τεντωμένου ιμάντα με καθένα από τα δύο σημεία επαφής του με τη Γη είναι α και το μήκος του μικρού τόξου ανάμεσα στα δύο σημεία επαφής είναι β, τότε μια πρώτη και πολύ χοντρική προσέγγιση θα μπορούσε να προκύψει αν θεωρούσαμε ότι το β είναι πρακτικά ίσο με το μήκος της χορδής που συνδέει τα δύο σημεία επαφής, οπότε θα είχαμε τις ακόλουθες ισότητες (τα μήκη σε μ):
    2α-β=1
    h^2=α^2-(β/2)^2
    α^2+r^2=(r+h)^2
    Θέτοντας r=6.400.000μ και κάνοντας λίγες πράξεις, αντικαταστάσεις κ.λπ. καταλήγουμε στην εξίσωση:
    h^4-h^2/2-12.800.000*h+1/16=0 => h=234 μ περίπου.
    'Ενας απαιτητικότερος υπολογισμός πάντως δίνει μια τιμή h στα 125μ περίπου (για την ακρίβεια, 3 πόδια παραπάνω μήκους ιμάντα δίνουν h=375,5 πόδια), αλλά το αποτέλεσμα δεν παύει να είναι απρόσμενο. 
    Για όσους τυχόν ενδιαφέρονται να εντρυφήσουν στο θέμα σε βάθος (Κάρλο;) προτείνω το ακόλουθο link: 
    https://www.quora.com/Imagine-that-you-tie-a-rope-around-the-circumference-of-Earth-and-add-3-feet-to-its-length-How-far-off-the-surface-of-Earth-would-it-be

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Θανάση, τελικά καλά έκανα και παραιτήθηκα από τη λύση του. Όντως δεν ήταν για τα κυβικά μου!! Ωραία η λύση σου. Μπράβο!!

      Διαγραφή
  4. το (ΜΔ)^2=(ΜΑ)(ΜΒ), δηλαδή η σχέση (1) πως προέκυψε;

    Εχω ξεχάσει κάποια θεωρία;

    ΑπάντησηΔιαγραφή