Δίνεται ευθύγραμμο τμήμα 
και ένα σημείο του 
ώστε 
Φέρνω την ημιευθεία 
και ένα σημείο του ώστε Φέρνω την ημιευθεία 
Να εντοπίσετε σημείο 
της 
ώστε η γωνία 
να είναι μέγιστη και (για αυτή τη θέση) να υπολογίσετε την 
της ώστε η γωνία να είναι μέγιστη και (για αυτή τη θέση) να υπολογίσετε την 
Το ζητούμενο σημείο Ρ είναι το σημείο επαφής του κύκλου που διέρχεται από τα σημεία S και Β και εφάπτεται της Ax.
ΑπάντησηΔιαγραφήΤο μήκος του ΑΡ είναι (ΑΡ) = sqrt(a*s) [μέση ανάλογος των α και d , σχέση τέμνουσας και εφαπτομένης του κύκλου].
Αιτιολόγηση
Θεωρώ τον κύκλο που διέρχεται από τα Α,S και εφάπτεται της ημιεύθείας Αx και ονομάζω Σ το σημείο επαφής με την ημιευθεία αυτή.
Από οποιδήποτε σημείο Μ της ημειευθείας, (διαφορερτικό του Σ), το ευθ. τμήμα SΑ φαίνεται υπό γωνία Μ μεγαλύτερη από την γωνία Σ υπό την οποία φαίνεται ίδιο το ευθ. τμήμα SΑ από το σημείο Σ, ως εξωτερικό σημείο (το Μ ) του κύκλου.
Συνεπώς το Ρ πρέπει να ταυτισθεί με το σημείο Σ.
εφθ = (α-s)/(2*sqrt(α*s))
Υπολογισμός
Έστωσαν ω και φ οι γωνίες ΑΡΒ και ΑΡS αντίστοιχα τότε:
εφθ = εφ(ω-φ)= (εφω-εφφ)/(1+εφω*εφφ)
αλλά
εφω = ΑΒ/ΑΡ = α/sqrt(a*s) και
εφφ = ΑS/ΑΡ = s/sqrt(a*s) και με
αντικατάσταση και πράξεις προκύπτει:
εφθ = (α-s)/(2*sqrt(a*s))