Παρασκευή, 26 Μαΐου 2017

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Προτεινόμενα Θέματα Γ [56ο - 68ο]

 Του Θανάση Ξένου 
56. Μια συνάρτηση {\mathrm f}\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} είναι δύο φορές παραγωγίσιμη με
\slim_{x\to1} \dfrac{{\mathrm f}(x)-1}{x^2-1}=4-\dfrac{3}{2} {\mathrm f}'(1) και {\mathrm f}''(x)={\mathrm f}'(x)+e^{x-1}, για κάθε x\in\mathbb{R}.
α) Να αποδειχθεί ότι {\mathrm f}(x)=x\cdot e^{x-1},\,x\in\mathbb{R}.
β) Να βρεθεί το ευρύτερο υποσύνολο \Delta του \mathbb{R}, ώστε για κάθε x\in\Delta να ισχύει x\cdot(e^{x-1}-2)+1\geq0.
γ) Να λυθεί στο διάστημα [0,+\infty) η εξίσωση
    \[{\mathrm f}\left(\dfrac{x}{2}\right)+{\mathrm f}(x)={\mathrm f}\left(\dfrac{2x}{3}\right)+{\mathrm f}(2x).\]
δ) Να βρεθούν οι \alpha,\beta\in\mathbb{R} για τους οποίους ισχύει
    \[\slim_{x\to -\infty} \big({\mathrm f}(x)+\alpha x+\beta\big)=2.\]
--------------
57. Θεωρούμε δύο παραγωγίσιμες συναρτήσεις {\mathrm f},{\mathrm g}\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} με {\mathrm f}'(x)={\mathrm g}(x),\,{\mathrm g}'(x)=-{\mathrm f}(x),\,{\mathrm f}(0)=0 και {\mathrm g}(0)=1.
α) Να αποδειχθεί ότι {\mathrm f}(x)=\fhm x και {\mathrm g}(x)=\fsun x.
β) Να βρεθούν οι ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης
    \[{\mathrm h}(x)=\dfrac{{\mathrm f}(x)+{\mathrm g}(x)}{x-1}.\]
γ) Να βρεθεί το σύνολο τιμών της συνάρτησης \phi(x)=\fhm x+\fsun x,\,x\in\mathbb{R} και να εξετασθεί αν υπάρχουν \alpha,\beta\in\mathbb{R} με \fhm \alpha+\fsun \alpha=e^\beta-\beta+1.
δ) Να αποδειχθεί ότι
    \[\sint_0^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{{\mathrm f}(x)}{{\mathrm f}(x)+{\mathrm g}(x)}{\mathrm d}x=\sint_0^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{{\mathrm g}(x)}{{\mathrm f}(x)+{\mathrm g}(x)}{\mathrm d}x=\dfrac{\pi}{4}.\]
ε) Να υπολογισθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραμμές με εξισώσεις y={\mathrm f}^3(x),y={\mathrm g}^3(x),x=\dfrac{\pi}{4} και x=\pi.
--------------
58. Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση {\mathrm f}\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} με {\mathrm f}(0)=0,\, {\mathrm f}'(x)>0 και {\mathrm f}'(x)=\dfrac{1}{e^{{\mathrm f}(x)}-x} για κάθε x\in\mathbb{R}.
α) Να αποδειχθεί ότι
(i) e^{2\,{\mathrm f}(x)}=1+2\,x e^{{\mathrm f}(x)} και
(ii) {\mathrm f}(x)=\ln(x+\sqrt{x^2+1}),\,x\in\mathbb{R}.
β) Να μελετηθεί η {\mathrm f} ως προς τη μονοτονία και τα κοίλα.
γ) Να βρεθεί η συνάρτηση {\mathrm f}^{-1}.
δ) Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα \mathcal{I}=\sint_0^1 \dfrac{2\,x-1}{\sqrt{x^2+1}}{\mathrm d}x.
ε) Να υπολογισθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις {\mathrm C}_{\mathrm f},\,{\mathrm C}_{{\mathrm f}^{-1}} και την ευθεία x=1.

--------------
59. Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση {\mathrm f}\colon(0,+\infty)\to\mathbb{R} με {\mathrm f}(1)=0 και
{\mathrm f}'(x)\cdot\left(e^{{\mathrm f}(x)}+3\,{\mathrm f}^2(x)\right)=\dfrac{x+3\ln^2 x}{x} για κάθε x>0.
α) Να αποδειχθεί ότι {\mathrm f}(x)=\ln x,\,x>0.
β) Να βρεθεί η ελάχιστη απόσταση μεταξύ των σημείων της {\mathrm C}_{\mathrm f} και της καμπύλης y=e^x.
γ) Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση {\mathrm h}(x)=x\, {\mathrm f}(x+1)-(x+1)\,{\mathrm f}(x) είναι γνησίως φθίνουσα.
δ) Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα \mathcal{I}=\sint_e^{e^2} \dfrac{{\mathrm d}x}{x \,{\mathrm f}^2(x)+x\,{\mathrm f}(x)}.
ε) Να βρεθεί το όριο της ακολουθίας με γενικό όρο
    \[\alpha_\nu=(2\nu+1)\cdot{\mathrm f}\left(1+\dfrac{1}{\nu}\right).\]
--------------
60. Μια συνάρτηση {\mathrm f}\colon(0,+\infty)\to\mathbb{R} είναι δύο φορές παραγωγίσιμη με
{\mathrm f}(x)\neq0,{\mathrm f}(1)={\mathrm f}'(1)=\slim_{x\to+\infty}\left(x\cdot \fhm \dfrac{1}{x}\right) και
x^3\,{\mathrm f}''(x)-x\,{\mathrm f}'(x)+2\,{\mathrm f}(x)=0 για κάθε x>0.
α) Να αποδειχθεί ότι
(i) {\mathrm f}'(x)=\dfrac{{\mathrm f}(x)}{x^2} και
(ii) {\mathrm f}(x)=e^{1-\frac{1}{x}},\,x>0.
β) Να μελετηθεί η {\mathrm f} ως προς την κυρτότητα και να αποδειχθεί ότι για κάθε x>\dfrac{1}{2} ισχύει
    \[e^{2-\frac{1}{x}}<4\,x-1.\]
γ) Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα \mathcal{I}=\sint_1^2 \dfrac{\ln{\mathrm f}(x)}{{\mathrm f}(x)}{\mathrm d}x.
δ) Να βρεθεί το όριο \slim_{x\to0^+} \dfrac{{\mathrm f}(x^2)}{x}.
--------------
61. Μια συνάρτηση {\mathrm f}\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} είναι συνεχής στο \mathbb{R} και παραγωγίσιμη στο \mathbb{R}^\star με
{\mathrm f}(1)=\dfrac{e}{e+1}=-e\,{\mathrm f}(-1),\,x\,{\mathrm f}(x)>0 και
x\,{\mathrm f}'(x)+\left(\dfrac{1}{x}-1\right)\cdot{\mathrm f}(x)=e^{\frac{1}{x}}\cdot\big({\mathrm f}(x)-x\,{\mathrm f}'(x)\big) για κάθε x\neq0.
α) Να αποδειχθεί ότι {\mathrm f}(x)=\begin{cases}  \dfrac{x\,e^{\frac{1}{x}}}{1+e^{\frac{1}{x}}} &,x\neq0\\ \\  0 &, x=0.  \end{cases}
β) Να εξετασθεί αν η {\mathrm f} είναι παραγωγίσιμη στο 0.
γ) Να αποδειχθεί ότι η {\mathrm f} είναι γνησίως αύξουσα στο \mathbb{R}.
--------------
62. Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση {\mathrm f}\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} με {\mathrm f}(0)=0,\,{\mathrm f}'(x)>0 και
\big(1+{\mathrm f}'(x)\big)\cdot{\mathrm f}'\left(\dfrac{x+{\mathrm f}(x)}{2}\right)=2 για κάθε x\in\mathbb{R}.
α) Να αποδειχθεί ότι {\mathrm f}(x)=x,x\in\mathbb{R}.
β) Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα
\mathcal{I}=\sint_{-1}^1 \dfrac{{\mathrm f}(x)}{\fsun x}{\mathrm d}x και \mathcal{J}=\sint_0^{\frac{\pi}{4}} \dfrac{{\mathrm f}(x)}{1-\fhm^2 x}{\mathrm d}x.
γ) Να υπολογισθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις καμπύλες y={\mathrm f}(x),y=2^x, τον άξονα y'y και την ευθεία x=1.
--------------
63. Έστω συνεχής και γνησίως μονότονη συνάρτηση {\mathrm f}\colon[0,1]\to\mathbb{R} με
{\mathrm f}(0)=\slim_{x\to0^+}\dfrac{\sqrt{x}\,\fhm\frac{1}{x}+2}{1+e^{-\frac{1}{x}}} και {\mathrm f}(1) το ελάχιστο της συνάρτησης {\mathrm g}(x)=\ln\left(\dfrac{x}{\ln x}\right).
α) Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση {\mathrm f}^{-1} ορίζεται στο διάστημα [1,2].
β) Να βρεθούν τα ολικά ακρότατα της συνάρτησης
    \[{\mathrm h}(x)={\mathrm f}^2(x)-2({\mathrm f}(x)-1),\,x\in[0,1].\]
γ) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων M\left(2{\mathrm f}(x),-{\mathrm f}(x)\right),x\in[0,1], καθώς και τα ακρότατα της απόστασης του M από το σημείο A(-3,-1).
δ) Να αποδειχθεί ότι υπάρχει μοναδικός x_0\in(0,1) με
\nu\,{\mathrm f}(x_0)={\mathrm f}(1)+{\mathrm f}\left(\dfrac{1}{2}\right)+{\mathrm f}\left(\dfrac{1}{3}\right)+\hdots+{\mathrm f}\left(\dfrac{1}{\nu}\right),\,\nu\in\mathbb{N}^\star.
ε) Επιπλέον, αν η {\mathrm f} είναι παραγωγίσιμη και έχει συνεχή παράγωγο, να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα
--------------
64. Μια συνάρτηση {\mathrm f}\colon(0,+\infty)\to\mathbb{R} είναι δύο φορές παραγωγίσιμη με
{\mathrm f}(1)=\slim_{x\to0^+} \dfrac{e^{\frac{1}{x}}+x}{e^{\frac{1}{x}}-1}
{\mathrm f}'(1) το όριο της ακολουθίας με γενικό όρο \alpha_\nu=\sqrt{\nu^2+2\nu}-\sqrt[3]{\nu^3+1} και
{\mathrm f}''(x)=\dfrac{2(\ln x-1)}{x^2} για κάθε x>0.
α) Να αποδειχθεί ότι
(i) {\mathrm f}'(x)=\dfrac{x-2\ln x}{x} και
(ii) {\mathrm f}(x)=x-\ln ^2 x.
β) Να αποδειχθεί ότι υπάρχει μοναδικός θετικός αριθμός \alpha με \alpha=\ln^2 \alpha. Να δοθεί γεωμετρική ερμηνεία.
γ) Να αποδειχθεί ότι για κάθε x\geq e ισχύει
(i) {\mathrm f}(x)\geq \left(1-\dfrac{2}{e}\right)\,x +1 και
(ii) {\mathrm f}(x)+{\mathrm f}(x+2)>2\,{\mathrm f}(x+1).
δ) Να βρεθεί το όριο \slim_{x\to+\infty}\left(e^{{\mathrm f}(x)}\cdot x^{\ln x}-e^{x-{\mathrm f}(x)}\right).
ε) Να υπολογισθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη {\mathrm C}_{\mathrm f}, τον άξονα x'x και τις ευθείες x=1 και x=e.
--------------
65. α) Να βρεθεί το πρόσημο της συνάρτησης {\mathrm g}(x)=x^2-1-2\ln x,\,x>0.
β) Να βρεθούν οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις {\mathrm f}\colon(0,+\infty)\to\mathbb{R} με {\mathrm f}(e)=e^2-3,\,{\mathrm f}^2 \left(\dfrac{1}{2}\right)=\left(2\ln 2-\dfrac{3}{4}\right)^2,\,{\mathrm f}(x)\neq0 για κάθε x\in(0,1)\cup(1,+\infty) και
x {\mathrm f}'(x)\cdot(x^2-1-2\ln x)^3=2(x^2-1) {\mathrm f}^3(x) για κάθε x>0.
Αν επιπλέον η {\mathrm f} είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο (0,+\infty), τότε:
γ) Να αποδειχθεί ότι {\mathrm f}(x)=x^2-1-2\ln x,\,x>0.
δ) Αφού βρεθεί ο θετικός αριθμός \alpha, ώστε για κάθε x>0 να ισχύει \ln x\geq\dfrac{x^2-1}{\alpha x^2}, να υπολογισθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης
--------------
66. Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση {\mathrm f}\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} με {\mathrm f}(0)=\slim_{x\to0^+} (x\cdot\ln^3 x) και
{\mathrm f}'(x)+1=e^x+{\mathrm f}(x)+\sint_0^1 {\mathrm f}(x) {\mathrm d}x για κάθε x\in\mathbb{R}.
α) Να αποδειχθεί ότι {\mathrm f}(x)=x\,e^x,\,x\in\mathbb{R}.
β) Να βρεθούν οι ασύμπτωτες και το σύνολο τιμών της {\mathrm g}(x)={\mathrm f}\left(\dfrac{1}{x}\right).
γ) Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση {\mathrm h}\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} με {\mathrm h}(0)=2e και
{\mathrm h}(1)+(x-1)\cdot {\mathrm h}(x-1)-{\mathrm h}(x)\leq {\mathrm f}(x)-e για κάθε x\in\mathbb{R}.
Να αποδειχθεί ότι
    \[\slim_{t\to 0} \dfrac{{\mathrm h}(1+t)-{\mathrm h}(1-t)}{3t}=0.\]
δ) Να αποδειχθεί ότι υπάρχει μοναδικός αριθμός \alpha\in(0,1) με
--------------
67. Μια συνάρτηση {\mathrm f}\colon(-1,1)\to\mathbb{R} είναι παραγωγίσιμη και για κάθε x\in(-1,1) ισχύει
    \[4x\cdot e^{-{\mathrm f}(x)}+\left(1+x^2\right)^2\cdot {\mathrm f}'(x)=0.\]
Επίσης, ισχύει
{\mathrm f}(0)=\sint_{-\alpha}^\alpha \dfrac{x^5}{x^4+1}{\mathrm d}x, όπου \alpha\in\mathbb{R}^\star.
α) Να αποδειχθεί ότι {\mathrm f}(x)=\ln\left(\dfrac{1-x^2}{1+x^2}\right),x\in(-1,1).
β) Να μελετηθεί η {\mathrm f} ως προς τη μονοτονία και την κυρτότητα.
γ) Να αποδειχθεί ότι για κάθε x\in(-1,1) ισχύει
    \[\dfrac{2x^2}{x^2-1}\leq{\mathrm f}(x)\leq-\dfrac{2x^2}{x^2+1}.\]
δ) Να υπολογισθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την καμπύλη y=x\,{\mathrm f}(x), τους άξονες συντεταγμένων και την ευθεία x=\dfrac{1}{2}.
ε) Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα \mathcal{I}=\sint_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \left(\sint_{-t}^t {\mathrm f}(x){\mathrm d}x\right){\mathrm d}t.
--------------
68. Μια συνάρτηση {\mathrm f}\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} είναι συνεχής στο \mathbb{R} και παραγωγίσιμη στο \mathbb{R}^\star με
e^x+(e^x-1)\cdot {\mathrm f}'(x)=e^{-{\mathrm f}(x)} για κάθε x\in\mathbb{R}^\star.
α) Να αποδειχθεί ότι {\mathrm f}(x)=\begin{cases} \ln\left(\dfrac{x}{e^x-1}\right) &,x\in\mathbb{R}^\star \\  0&,x=0.\end{cases}
β) Να εξεταστθεί αν η {\mathrm f} είναι παραγωγίσιμη στο 0.
γ) Να αποδειχθεί ότι η {\mathrm f} είναι γνησίως φθίνουσα στο \mathbb{R}.
δ) Να βρεθεί το πλήθος των πραγματικών ριζών της εξίσωσης {\mathrm f}\big({\mathrm f}^2 (x)\big)=\alpha,\,\alpha\in\mathbb{R}.
ε) Να αποδειχθεί ότι η {\mathrm C}_{\mathrm f} δεν έχει καμία ασύμπτωτη.
Πηγή

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου