Να βρεθεί το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου

Δίνεται ευθεία $(e)$ κάθετη στο επίπεδο $Π$ στο σημείο $Ο$ και εγγεγραμμένη γωνία $\angle{BAC} =60^0$. Έστω σημείο $Δ$ της ευθείας $(e)$ τέτοιο ώστε $\angle{BDC} =90^0$. 

Να βρεθεί το εμβαδόν του μικτόγραμμου τριγώνου $BDC$, συναρτήσει της ακτίνας του κύκλου .

Λύση (Κώστας Δόρτσιος)

Είναι γνωστό ότι αφού  θα είναι: 

Επίσης από το ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο προκύπτει ότι 

Άρα επί του επιπέδου που ορίζεται από το σημείο και την ημιευθεία κατασκευάζεται το σημείο ως η τομή του κύκλου με κέντρο το σημείο και ακτίνα οριζόμενη από τη σχέση (3) με την ημιευθεία .

(Το ανωτέρω επίπεδο προφανώς λόγω του θεωρήματος των τριών καθέτων είναι το μεσοκάθετο επίπεδο του τμήματος )

Ο υπολογισμός τώρα του εμβαδού είναι εύκολος: 

όπου με το σύμβολο δηλώνεται το εμβαδόν του κυκλικού τμήματος της χορδής . 

Άρα τη τελική τιμή είναι: 

Πηγή