Τετάρτη, 19 Απριλίου 2017

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Προτεινόμενα Θέματα Γ [40ο -45ο]

 Του Θανάση Ξένου 
40. Οι συναρτήσεις
και
έχουν κοινό πεδίο ορισμού το ευρύτερο υποσύνολο του , στο οποίο ορίζονται και οι δύο.
α) Να βρεθεί το σύνολο τιμών καθεμιάς.
β) Να βρεθούν οι ασύμπτωτες των και .
γ) Να αποδειχθεί ότι η βρίσκεται κάτω από τη , με εξαίρεση ένα σημείο.
δ) Να υπολογισθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις και την ευθεία .
-------------
41Δίνεται η συνάρτηση
  {\mathrm f}(x)=\ln\left(\sfrac{x}{\ln x}\right).
α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της {\mathrm f}.
β) Να εξεταστεί αν η {\mathrm C}_{\mathrm f} έχει ασύμπτωτες.
γ) Να υπολογισθεί το εμβαδόν του χωρίου που ορίζουν τα σημεία M(x,y) του επιπέδου με 2\leq x\leq e και 0\leq y\leq e^{-{\mathrm f}(x)}.
δ) να βρεθούν τα σημεία καμπής της {\mathrm C}_{\mathrm f}.
ε) Να αποδειχθεί ότι για κάθε x\geq e^2 ισχύει:
(i) \ln \left(\sfrac{2x}{\ln x}\right)\leq\sfrac{1}{2} \left(\sfrac{x}{e^2}+3\right) και
(ii) {\mathrm f}(x)+{\mathrm f}(3x)<2 {\mathrm f}(2x).
-------------
42Μια συνάρτηση {\mathrm f}\colon(0,+\infty)\to\mathbb{R} είναι δύο φορές παραγωγίσιμη με {\mathrm f}(1)=0, {\mathrm f}'(1)=2 και
x {\mathrm f}'(x)+x^2 {\mathrm f}''(x)=2 
για κάθε x>0.
α) Να αποδειχθεί ότι {\mathrm f}(x)=\ln ^2 x + 2\ln x,x>0.
β) Να βρεθούν οι ασύμπτωτες της {\mathrm C}_{\mathrm f} και το σύνολο τιμών της {\mathrm f}.
γ) Να χαραχθεί η γραφική παράσταση της {\mathrm f}.
δ) Να βρεθεί το όριο
\slim_{t\to +\infty} \left(\sfrac{ \fhm^2 t+\sint_1^t {\mathrm f}(x){\mathrm d}x}{t \ln^2 t+\slim_{u\to+\infty}\left(\sfrac{e^u-e^{-u}}{e^u+e^{-u}}\right)}\right).
-------------

43. Μια συνάρτηση είναι δύο φορές παραγωγίσιμη με και
,
όπου η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης
  .
α) Να αποδειχθεί ότι και 
.
β) Να αποδειχθεί ότι η είναι κυρτή συνάρτηση.
γ) Να αποδειχθεί ότι
 
δ) Να αποδειχθεί ότι
(i)  
για κάθε και
(ii) .
-------------

44. Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση με και
 
για κάθε .
α) Να αποδειχθεί ότι
  .
β) Να βρεθεί το πλήθος των ριζών της εξίσωσης
  .
γ) Να λυθεί η εξίσωση
δ) Να βρεθεί το σημείο της που απέχει ελάχιστη απόσταση από την ευθεία .
ε) Να υπολογισθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις καμπύλες
 
και την ευθεία .
-------------
45. Έστω παραγωγίσιμη και περιττή συνάρτηση με και
 

για κάθε .
α) Να αποδειχθεί ότι

  .
β) Να αποδειχθεί ότι ορίζεται η συνάρτηση στο .
γ) Να λυθεί στο η εξίσωση

δ) Να υπολογισθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης με και , τον άξονα και την κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης
Πηγή

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου