Διασκεδαστικά Μαθηματικά : Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Προτεινόμενα Θέματα [30ο

Τρίτη 18 Απριλίου 2017

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Προτεινόμενα Θέματα [30ο - 39ο]

Του Θανάση Ξένου

39. I) Έστω

, σε κιλά η ποσότητα αποβλήτων που ρίχνει ένα εργοστάσιο σ’ ένα ποτάμι σε

ημέρες. Αν τα απόβλητα μεταβάλλονται με ρυθμό

κιλά ανά ημέρα και το εργοστάσιο λειτουργήσει

ημέρες, να βρεθεί η ποσότητα που θα πέσει στο ποτάμι τις τελευταίες

ημέρες λειτουργίας του.

II) Έστω συνεχής συνάρτηση

με

α) Να αποδειχθεί ότι

β) Να σχεδιαστεί η

γ) Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα

----------------

38. Μια συνάρτηση

είναι συνεχής στο

και παραγωγίσιμη στο

με

και

για κάθε

α) Να αποδειχθεί ότι

β) Να βρεθούν όλες οι αρχικές της

και να υπολογισθεί το

γ) Να υπολογισθεί το

όπου

δ) Να λυθεί στο διάστημα

η εξίσωση

------------------

37. Μια συνάρτηση

είναι δύο φορές παραγωγίσιμη με

και

για κάθε

α) Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση

είναι σταθερή.

β) Να αποδειχθεί ότι

γ) Να βρεθoύν οι ασύμπτωτες της

δ) Αν

, να αποδειχθεί ότι

ε) Να υπολογισθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη

, τον άξονα

και τις ευθείες

και

---------------

36. Έστω συνεχής συνάρτηση ${\mathrm f}\colon[0,1]\to\mathbb{R}$ .

α) Να αποδειχθεί ότι υπάρχει $\xi\in[0,1]$ με ${\mathrm f}(\xi)=\sint_0^1 {\mathrm f}(x){\mathrm d}x$ .

β) Να αποδειχθεί ότι για κάθε $\nu\in\mathbb{N}^\star$ υπάρχει $x_0\in[0,1]$ με

$\sint_0^1 x^\nu\cdot{\mathrm f}(x){\mathrm d}x=\frac{1}{\nu+1}\cdot {\mathrm f}(x_0).$

γ) Να βρεθεί το όριο

$\slim_{x\to1}\left( (x-1)\cdot \sint_0^x \frac{{\mathrm f}(t)}{t-1} {\mathrm d}t\right).$

δ) Επιπλέον, υποθέτουμε ότι η ${\mathrm f}$ είναι γνησίως μονότονη με ${\mathrm f}(0)=1$ και ${\mathrm f}(1)=2$ .

(i) Να βρεθούν τα ακρότατα της συνάρτησης ${\mathrm g}\colon[0,1]\to\mathbb{R}$ με ${\mathrm g}(x)={\mathrm f}^2(x)-2{\mathrm f}(x)-2$ .

(ii) Αν η ${\mathrm f}$ είναι παραγωγίσιμη με

${\mathrm f}\left(\sfrac{1}{2}\right)=\sfrac{3}{2}$ και ${\mathrm f}(x)\leq\sfrac{1}{2}x+\sfrac{5}{4}$ για κάθε $x\in\Delta$ ,

όπου $\Delta$ διάστημα με $\Delta\subseteq(0,1)$ και $\sfrac{1}{2}\in\Delta$ ,

----------------

35. Δίνεται η συνάρτηση ${\mathrm f}(x)=\sfrac{\alpha x^3+1}{2x^2}$ , της οποίας η γραφική

παράσταση έχει ασύμπτωτη στο $+\infty$ την ευθεία $y=x$ .

α) Να αποδειχθεί ότι $\alpha=2$ .

β) Να μελετηθεί η ${\mathrm f}$ ως προς τη μονοτονία και την κυρτότητα.

γ) Να χαραχθεί η γραφική παράσταση της ${\mathrm f}$ .

δ) Να υπολογισθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη ${\mathrm C}_{\mathrm f}$ , την ευθεία $y=x$ και τις ευθείες $x=1$ και $x=2$ .

ε) Να αποδειχθεί ότι η ${\mathrm C}_{\mathrm f}$ βρίσκεται πάνω από την καμπύλη $y=\ln x$ .

----------------

34. Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση ${\mathrm f}\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ με συνεχή παράγωγο, για την οποία ισχύει

$\big({\mathrm f}'(x)\big)^2-\big({\mathrm f}(x)\big)^2=1$

για κάθε $x\in\mathbb{R}$ .
Η εφαπτομένη $\epsilon$ της ${\mathrm C}_{\mathrm f}$ στο σημείο της ${\mathrm A}(0,{\mathrm f}(0))$ σχηματίζει γωνία $\sfrac{\pi}{4}$ με τον άξονα $x'x$ .
α) Να αποδειχθεί ότι η ${\mathrm f}$ είναι γνησίως αύξουσα.
β) Να μελετηθεί η ${\mathrm f}$ ως προς την κυρτότητα.
γ) Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση

${\mathrm g}(x)=\big({\mathrm f}'(x)-{\mathrm f}(x)\big)\cdot e^x$

είναι σταθερή στο $\mathbb{R}$ .
δ) Να αποδειχθεί ότι ${\mathrm f}(x)=\sfrac{1}{2} (e^x -e^{-x}),\,x\in\mathbb{R}$ και

$\sint_0^{\frac{3}{4}} {\mathrm f}^{-1}(x){\mathrm d}x=\sfrac{3}{4}\ln 2 -\sfrac{1}{4}$

--------------------

33. Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση ${\mathrm f}\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ με ${\mathrm f}(0)=0$ και ${\mathrm f}'(x)=\sfrac{1}{{\mathrm f}^2 (x)+1}$ για κάθε $x\in\mathbb{R}$

α) Να αποδειχθεί ότι ${\mathrm f}^3(x)+3{\mathrm f}(x)=3x$ για κάθε $x\in\mathbb{R}$ .

β) Να βρεθεί το όριο $\slim_{x\to0} \sfrac{{\mathrm f}(\fhm x)}{x}$ και να αποδειχθεί ότι ${\mathrm f}\left(\sfrac{\fhm x}{x}\right)<1$ για κάθε $x\neq0$ .