Τρίτη, 18 Απριλίου 2017

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Προτεινόμενα Θέματα [30ο - 39ο]

 Του Θανάση Ξένου 
39. I) Έστω , σε κιλά η ποσότητα αποβλήτων που ρίχνει ένα εργοστάσιο σ’ ένα ποτάμι σε  ημέρες. Αν τα απόβλητα μεταβάλλονται με ρυθμό

κιλά ανά ημέρα και το εργοστάσιο λειτουργήσει  ημέρες, να βρεθεί η ποσότητα που θα πέσει στο ποτάμι τις τελευταίες  ημέρες λειτουργίας του.
II) Έστω συνεχής συνάρτηση  με

α) Να αποδειχθεί ότι 
.
β) Να σχεδιαστεί η .
γ) Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα 
----------------
38. Μια συνάρτηση  είναι συνεχής στο  και παραγωγίσιμη στο  με  και
 
για κάθε .
α) Να αποδειχθεί ότι 
β) Να βρεθούν όλες οι αρχικές της  και να υπολογισθεί το 
γ) Να υπολογισθεί το
  
όπου .

δ) Να λυθεί στο διάστημα  η εξίσωση 
------------------
37. Μια συνάρτηση  είναι δύο φορές παραγωγίσιμη με  και
για κάθε .
α) Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση  είναι σταθερή.
β) Να αποδειχθεί ότι 
γ) Να βρεθoύν οι ασύμπτωτες της .
δ) Αν , να αποδειχθεί ότι
ε) Να υπολογισθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη , τον άξονα  και τις ευθείες  και .
---------------
36. Έστω συνεχής συνάρτηση {\mathrm f}\colon[0,1]\to\mathbb{R}.
α) Να αποδειχθεί ότι υπάρχει \xi\in[0,1] με {\mathrm f}(\xi)=\sint_0^1 {\mathrm f}(x){\mathrm d}x.
β) Να αποδειχθεί ότι για κάθε \nu\in\mathbb{N}^\star υπάρχει x_0\in[0,1] με
    \[\sint_0^1 x^\nu\cdot{\mathrm f}(x){\mathrm d}x=\frac{1}{\nu+1}\cdot {\mathrm f}(x_0).\]
γ) Να βρεθεί το όριο
    \[\slim_{x\to1}\left( (x-1)\cdot \sint_0^x \frac{{\mathrm f}(t)}{t-1} {\mathrm d}t\right).\]
δ) Επιπλέον, υποθέτουμε ότι η {\mathrm f} είναι γνησίως μονότονη με {\mathrm f}(0)=1 και {\mathrm f}(1)=2.
(i) Να βρεθούν τα ακρότατα της συνάρτησης {\mathrm g}\colon[0,1]\to\mathbb{R} με {\mathrm g}(x)={\mathrm f}^2(x)-2{\mathrm f}(x)-2.
(ii) Αν η {\mathrm f} είναι παραγωγίσιμη με
{\mathrm f}\left(\sfrac{1}{2}\right)=\sfrac{3}{2} και {\mathrm f}(x)\leq\sfrac{1}{2}x+\sfrac{5}{4} για κάθε x\in\Delta,
όπου \Delta διάστημα με \Delta\subseteq(0,1) και \sfrac{1}{2}\in\Delta,
----------------
35. Δίνεται η συνάρτηση {\mathrm f}(x)=\sfrac{\alpha x^3+1}{2x^2}, της οποίας η γραφική
παράσταση έχει ασύμπτωτη στο +\infty την ευθεία y=x.
α) Να αποδειχθεί ότι \alpha=2.
β) Να μελετηθεί η {\mathrm f} ως προς τη μονοτονία και την κυρτότητα.
γ) Να χαραχθεί η γραφική παράσταση της {\mathrm f}.
δ) Να υπολογισθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη {\mathrm C}_{\mathrm f}, την ευθεία y=x και τις ευθείες x=1 και x=2.
ε) Να αποδειχθεί ότι η {\mathrm C}_{\mathrm f} βρίσκεται πάνω από την καμπύλη y=\ln x.
----------------
34. Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση {\mathrm f}\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} με συνεχή παράγωγο, για την οποία ισχύει 
\big({\mathrm f}'(x)\big)^2-\big({\mathrm f}(x)\big)^2=1 
για κάθε x\in\mathbb{R}.
Η εφαπτομένη \epsilon της {\mathrm C}_{\mathrm f} στο σημείο της {\mathrm A}(0,{\mathrm f}(0)) σχηματίζει γωνία \sfrac{\pi}{4} με τον άξονα x'x.
α) Να αποδειχθεί ότι η {\mathrm f} είναι γνησίως αύξουσα.
β) Να μελετηθεί η {\mathrm f} ως προς την κυρτότητα.
γ) Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση
  {\mathrm g}(x)=\big({\mathrm f}'(x)-{\mathrm f}(x)\big)\cdot e^x 
είναι σταθερή στο \mathbb{R}.
δ) Να αποδειχθεί ότι {\mathrm f}(x)=\sfrac{1}{2} (e^x -e^{-x}),\,x\in\mathbb{R} και
    \[\sint_0^{\frac{3}{4}} {\mathrm f}^{-1}(x){\mathrm d}x=\sfrac{3}{4}\ln 2 -\sfrac{1}{4}\]
--------------------
33. Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση {\mathrm f}\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} με {\mathrm f}(0)=0 και {\mathrm f}'(x)=\sfrac{1}{{\mathrm f}^2 (x)+1} για κάθε x\in\mathbb{R}
α) Να αποδειχθεί ότι {\mathrm f}^3(x)+3{\mathrm f}(x)=3x για κάθε x\in\mathbb{R}.
β) Να βρεθεί το όριο \slim_{x\to0} \sfrac{{\mathrm f}(\fhm x)}{x} και να αποδειχθεί ότι {\mathrm f}\left(\sfrac{\fhm x}{x}\right)<1 για κάθε x\neq0.
γ) Να μελετηθεί η {\mathrm f} ως προς την κυρτότητα.
δ) Να αποδειχθεί ότι για κάθε \alpha\in\mathbb{R} ισχύει \sint_0^{\alpha} {\mathrm f}(x){\mathrm d}x\leq\sfrac{\alpha^2}{2}.
ε) Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα \mathcal{I}=\sint_0^{\frac{4}{3}} {\mathrm f}(x){\mathrm d}x.
-----------------
32. Η τιμή  (σε ευρώ) ενός προϊόντος,  μήνες μετά την εισαγωγή του στην αγορά, δίνεται από τον τύπο
α) Να βρεθεί η τιμή του προϊόντος τη στιγμή της εισαγωγής του στην αγορά.
β) Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της τιμής του προϊόντος δύο μήνες μετά την εισαγωγή του στην αγορά.
γ) Να βρεθεί το χρονικό διάστημα, στο οποίο η τιμή του προϊόντος συνεχώς αυξάνεται.
δ) Ποια είναι η μέγιστη τιμή του προϊόντος;
ε) Να αποδειχθεί ότι η τιμή του προϊόντος, μετά από κάποια χρονική στιγμή, συνεχώς μειώνεται, χωρίς όμως να γίνεται μικρότερη από την αρχική τιμή.
---------------
31. α) Να βρεθεί το πρόσημο της συνάρτησης
  .
β) Να βρεθούν όλες οι συνεχείς συναρτήσεις 
 με  
για κάθε .
Οι συναρτήσεις αυτές είναι παντού παραγωγίσιμες;
γ) Μια συνάρτηση  είναι δύο φορές παραγωγίσιμη με
   
και
 
για κάθε .
(i) Να αποδειχθεί ότι
  .
(ii) Να βρεθεί το σύνολο τιμών της .
(iii) Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα
-----------------
30. Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση με

όπου φυσικός και με .
α) Να αποδειχθεί ότι
   
και .
β) Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα 
γ) Να αποδειχθεί ότι η έχει ολικό ελάχιστο σε δύο θέσεις και ένα τοπικό μέγιστο.
δ) Να αποδειχθεί ότι η έχει ακριβώς δύο σημεία καμπής.
Πηγή

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου