Τρίτη, 31 Ιανουαρίου 2017

Σταθερό άθροισμα

Τέσσερις κύκλοι διατάσσονται όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Οι αριθμοί $1,2,3,...,10$ τοποθετούνται μέσα σε κάθε 
μία από τις δέκα περιοχές που σχηματίζονται έτσι ώστε το άθροισμα των αριθμών σε κάθε κύκλο να είναι το ίδιο. Ποια είναι η μεγαλύτερη δυνατή τιμή του εν λόγω αθροίσματος;

2 σχόλια:

  1. Αριθμούμε 1 τον κεντρικό κύκλο, 2 τον πάνω αριστερά κύκλο, 3 τον πάνω δεξιά κύκλο και 4 τον κάτω κύκλο.
    Ονομάζουμε:
    Α την κοινή περιοχή των κύκλων 1,2,3 και 4
    Β την κοινή περιοχή των κύκλων 1,2 και 4
    Γ την κοινή περιοχή των κύκλων 1,2 και 3
    Δ την κοινή περιοχή των κύκλων 1,3 και 4
    Ε την κοινή περιοχή των κύκλων 1 και 2
    Ζ την κοινή περιοχή των κύκλων 1 και 3
    Η την κοινή περιοχή των κύκλων 1 και 4
    Θ την περιοχή του κύκλου 2 που δεν ανήκει σε κανέναν άλλο κύκλο
    Ι την περιοχή του κύκλου 3 που δεν ανήκει σε κανέναν άλλο κύκλο
    Κ την περιοχή του κύκλου 4 που δεν ανήκει σε κανέναν άλλο κύκλο
    Συμβολίζουμε με τα ίδια πιο πάνω γράμματα τους αριθμούς σε κάθε περιοχή.
    Με βάση τα δεδομένα του προβλήματος, ισχύουν τα ακόλουθα:
    Α+Β+Γ+Δ+Ε+Ζ+Η = Α+Β+Γ+Ε+Θ => Δ+Ζ+Η = Θ (1)
    Α+Β+Γ+Δ+Ε+Ζ+Η= Α+Γ+Δ+Ζ+Ι => Β+Ε+Η = Ι (2)
    Α+Β+Γ+Δ+Ε+Ζ+Η = Α+Β+Δ+Η+Κ => Γ+Ε+Ζ = Κ (3)
    Προσθέτοντας κ.μ. τις (1), (2) και (3), έχουμε:
    Θ+Ι+Κ = Β+Γ+Δ+2(Ε+Ζ+Η) (4)
    Δεδομένου ότι το άθροισμα και των 10 αριθμών είναι 55, έχουμε επίσης:
    Α+Β+Γ+Δ+Ε+Ζ+Η = 55-(Θ+Ι+Κ) (5)
    Η ελάχιστη δυνατή τιμή του α' μέλους της (5) είναι 1+2+3+4+5+6+7=28, ενώ η μέγιστη τιμή του ίδιου αθροίσματος επιτυγχάνεται όταν ελαχιστοποιείται η τιμή του αθροίσματος Θ+Ι+Κ.
    Το άθροισμα Θ+Ι+Κ, βάσει της (4) ελαχιστοποιείται στην τιμή 27 για Ε+Ζ+Η=1+2+3=6 και Β+Γ+Δ=4+5+6=15. Επομένως η μέγιστη δυνατή τιμή του αθροίσματος Α+Β+Γ+Δ+Ε+Ζ+Η είναι 55-27=28, δηλαδή όσο και η ελάχιστη.
    Το άθροισμα 28 είναι εφικτό στην εξής αντιστοίχιση περιοχών αριθμών:
    Α=7, Β=4, Γ=5, Δ=6, Ε=2, Ζ=1, Η=3, Θ=10, Ι=9, Κ=8

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Επαλήθευση αθροισμάτων
    Κύκλος 1: Α+Β+Γ+Δ+Ε+Ζ+Η = 7+4+5+6+2+1+3 = 28
    Κύκλος 2: Α+Β+Γ+Ε+Θ = 7+4+5+2+10 = 28
    Κύκλος 3: Α+Γ+Δ+Ζ+Ι = 7+5+6+1+9 = 28
    Κύκλος 4: Α+Β+Δ+Η+Κ = 7+4+6+3+8 = 28

    ΑπάντησηΔιαγραφή