Διασκεδαστικά Μαθηματικά : Τρεις ωραίες ασκήσεις στο πεδίο ορισμού συνάρτησης

Παρασκευή 13 Ιανουαρίου 2017

Τρεις ωραίες ασκήσεις στο πεδίο ορισμού συνάρτησης

Παράδειγμα 1

Να βρείτε για ποιές τιμές του $\lambda \in \mathbb{R}$ το πεδίο ορισμού της συνάρτησης

$f(x)=\ln[(\lambda-2)x^2+(\lambda+1)x+\lambda +1]$

είναι το $\mathbb{R}.$

Λύση

Η συνάρτηση

$f(x)=\ln[(\lambda-2)x^2+(\lambda+1)x+\lambda +1]$

έχει πεδίο ορισμού το $\mathbb{R}$ όταν:

$(\lambda-2)x^2+(\lambda+1)x+\lambda +1>0$

για κάθε $x\in\mathbb{R}.$

Για να ισχύει αυτό πρέπει ο συντελεστής του $x^{2}$ να είναι θετικός

και η διακρίνουσα αρνητική δηλαδή, $\lambda-2>0$ και $\Delta<0.$

Άρα έχουμε:

$\begin{align*} &\lambda-2>0 \Leftrightarrow \lambda>2 \quad (1.) \end{align*}$

και

$\begin{align*} &\Delta<0 \Leftrightarrow \Delta =\beta^{2}-4\alpha\cdot\gamma <0\Leftrightarrow\\\\ &(\lambda+1)^2 - 4(\lambda-2)(\lambda+1)<0 \Leftrightarrow\\\\ &\lambda^2+2\lambda+1-4(\lambda^2+\lambda-2\lambda-2)<0 \Leftrightarrow\\\\ &\lambda^2+2\lambda+1-4\lambda^2+4\lambda+8<0 \Leftrightarrow\\\\ &-3\lambda^2+6\lambda+9<0 \Leftrightarrow 3(-\lambda^2+2\lambda+3)<0 \Leftrightarrow\\\ & -\lambda^2+2\lambda+3 <0 \end{align*}$

Οπότε θα πρέπει να κάνουμε διερεύνηση προσήμου για το τριώνυμο που προέκυψε

$\Delta'=2^2-4\cdot1\cdot3=4+12=16$

$\lambda_{1,2}=\frac{-2\pm4}{-2}=$

$\left\{ \begin{tabular}{ll} $\lambda_{1}=-1$ \\ $\lambda_{2}=3$\\ \end{tabular} \right.$

$\begin{align*} \begin{tabular}{c| c c c c c c c} $ \lambda $ & $ -\infty $& & $-1$ & & $3$ & & $+\infty $\\ \hline $ -\lambda^2+2\lambda+3 $ & & - & $ 0$ & + & $ 0$ & - & \\ \end{tabular} \end{align*}$

Άρα

$-\lambda^2+2\lambda+3 <0\Leftrightarrow\lambda\in(-\infty, -1)\cup(3,+\infty) \quad(2.)$

Από τη συναλήθευση των προηγούμενων περιορισμών $(1.)$ και $(2.)$ προκύπτει ότι $\lambda\in(3,+\infty)$

Παράδειγμα 2

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=\sqrt{x+\alpha}$ για την οποία ισχύει $f(13)-f(-3)=4$ . Να βρείτε:

i) Τον αριθμό $\alpha.$

ii) Το πεδίο ορισμού της $f.$

iii) Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης $g(x)=\dfrac{\ln\Bigg(x+f\big(f(33)\big)\Bigg)}{x^2-f\big(f(-2)\big)|x|}$

Λύση

i) Έχουμε:

$f(13)=\sqrt{13+\alpha} \quad \text{και} \quad f(-3)=\sqrt{-3+\alpha}$

Άρα:

$\begin{align*} &f(13)-f(-3)=4 \Leftrightarrow\\\\ &\sqrt{13+\alpha}-\sqrt{-3+\alpha}=4 \Leftrightarrow\\\\ &\sqrt{13+\alpha}=\sqrt{-3+\alpha}+4 \Leftrightarrow\\\\ &(\sqrt{13+\alpha})^2=(\sqrt{-3+\alpha}+4)^2 \Leftrightarrow\\\\ &13+\alpha=-3+\alpha+8\sqrt{-3+\alpha}+16 \Leftrightarrow\\\\ & 8\sqrt{-3+\alpha}=0 \Leftrightarrow\\\\ &-3+\alpha=0 \Leftrightarrow\\\\ &\alpha=3 \end{align*}$

ii) Για $\alpha=3$ ο τύπος της $f$ γίνεται $f(x)=\sqrt{x+3}$ . Η $f$ ορίζεται όταν:

$x+3 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq -3$

Άρα το πεδίο ορισμού της $f$ είναι το σύνολο: $A_{f}=[-3,\infty)$

iii) Έχουμε:

$\begin{align*} & f(33)=\sqrt{33+3}=\sqrt{36}=6 \Leftrightarrow\\\\ & f(f(33))=f(6)=\sqrt{6+3}=3 \Leftrightarrow\\\\ & f(-2)=\sqrt{-2+3}=1 \velos \Leftrightarrow\\\\ & f(f(-2))=f(1)=\sqrt{1+3}=2 \end{align*}$

Άρα η συνάρτηση $g$ γράφεται:

$g(x)=\frac{ln(x+3)}{x^2-2|x|}$

Για να ορίζεται η συνάρτηση $g$ πρέπει ισχύον οι παρακάτω δύο συνθήκες:

α) $x+3>0 \Leftrightarrow x>-3.$

και β)

$\begin{align*} &x^2-2|x| \neq 0 \Leftrightarrow |x|(|x|-2) \neq 0 \Leftrightarrow\\ & |x| \neq 0 \quad \& \quad |x| \neq 2 \Leftrightarrow\\ &x \neq 0 \quad \& \quad x \neq\pm 2 \end{align*}$