Παρασκευή, 13 Ιανουαρίου 2017

Τρεις ωραίες ασκήσεις στο πεδίο ορισμού συνάρτησης

Παράδειγμα 1
Να βρείτε για ποιές τιμές του \lambda \in \mathbb{R} το πεδίο ορισμού της συνάρτησης
    \[f(x)=\ln[(\lambda-2)x^2+(\lambda+1)x+\lambda +1]\]
είναι το \mathbb{R}.
Λύση
Η συνάρτηση
    \[f(x)=\ln[(\lambda-2)x^2+(\lambda+1)x+\lambda +1]\]
έχει πεδίο ορισμού το \mathbb{R} όταν:
    \[(\lambda-2)x^2+(\lambda+1)x+\lambda +1>0\]
για κάθε x\in\mathbb{R}.
Για να ισχύει αυτό πρέπει ο συντελεστής του x^{2} να είναι θετικός
και η διακρίνουσα αρνητική δηλαδή, \lambda-2>0 και \Delta<0.
Άρα έχουμε:
    \begin{align*}    &\lambda-2>0 \Leftrightarrow    \lambda>2 \quad (1.)   \end{align*}
και    
\begin{align*}    &\Delta<0 \Leftrightarrow \Delta =\beta^{2}-4\alpha\cdot\gamma <0\Leftrightarrow\\\\    &(\lambda+1)^2 - 4(\lambda-2)(\lambda+1)<0 \Leftrightarrow\\\\    &\lambda^2+2\lambda+1-4(\lambda^2+\lambda-2\lambda-2)<0 \Leftrightarrow\\\\    &\lambda^2+2\lambda+1-4\lambda^2+4\lambda+8<0 \Leftrightarrow\\\\    &-3\lambda^2+6\lambda+9<0 \Leftrightarrow 3(-\lambda^2+2\lambda+3)<0 \Leftrightarrow\\\                          & -\lambda^2+2\lambda+3 <0 \end{align*}
Οπότε θα πρέπει να κάνουμε διερεύνηση προσήμου για το τριώνυμο που προέκυψε
    \[\Delta'=2^2-4\cdot1\cdot3=4+12=16\]
    \[\lambda_{1,2}=\frac{-2\pm4}{-2}=\]
    \[\left\{   \begin{tabular}{ll}     $\lambda_{1}=-1$ \\     $\lambda_{2}=3$\\    \end{tabular}    \right. \]
    \begin{align*} \begin{tabular}{c| c c c c c c c}            $ \lambda $ & $ -\infty $& &     $-1$      &        &  $3$        &          & $+\infty $\\           \hline          $ -\lambda^2+2\lambda+3 $   &            & -    & $ 0$          & +      & $ 0$        &    -     &      \\         \end{tabular} \end{align*}
Άρα
    \[-\lambda^2+2\lambda+3 <0\Leftrightarrow\lambda\in(-\infty, -1)\cup(3,+\infty) \quad(2.)\]
Από τη συναλήθευση των προηγούμενων περιορισμών (1.) και (2.) προκύπτει ότι \lambda\in(3,+\infty)

Παράδειγμα 2
Δίνεται η συνάρτηση f(x)=\sqrt{x+\alpha} για την οποία ισχύει f(13)-f(-3)=4. Να βρείτε:
i) Τον αριθμό \alpha.
ii) Το πεδίο ορισμού της f.
iii) Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g(x)=\dfrac{\ln\Bigg(x+f\big(f(33)\big)\Bigg)}{x^2-f\big(f(-2)\big)|x|}
Λύση
i) Έχουμε:
    \[f(13)=\sqrt{13+\alpha} \quad \text{και} \quad f(-3)=\sqrt{-3+\alpha}\]
Άρα:    
\begin{align*}          &f(13)-f(-3)=4 \Leftrightarrow\\\\          &\sqrt{13+\alpha}-\sqrt{-3+\alpha}=4 \Leftrightarrow\\\\          &\sqrt{13+\alpha}=\sqrt{-3+\alpha}+4 \Leftrightarrow\\\\          &(\sqrt{13+\alpha})^2=(\sqrt{-3+\alpha}+4)^2 \Leftrightarrow\\\\          &13+\alpha=-3+\alpha+8\sqrt{-3+\alpha}+16 \Leftrightarrow\\\\          & 8\sqrt{-3+\alpha}=0 \Leftrightarrow\\\\          &-3+\alpha=0 \Leftrightarrow\\\\          &\alpha=3         \end{align*}
ii) Για \alpha=3 ο τύπος της f γίνεται f(x)=\sqrt{x+3}. Η f ορίζεται όταν:
    \[x+3 \geq 0  \Leftrightarrow x \geq -3\]
Άρα το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο: A_{f}=[-3,\infty)
iii) Έχουμε:    
\begin{align*}     & f(33)=\sqrt{33+3}=\sqrt{36}=6 \Leftrightarrow\\\\     & f(f(33))=f(6)=\sqrt{6+3}=3 \Leftrightarrow\\\\     & f(-2)=\sqrt{-2+3}=1 \velos \Leftrightarrow\\\\     & f(f(-2))=f(1)=\sqrt{1+3}=2    \end{align*}
Άρα η συνάρτηση g γράφεται:
    \[g(x)=\frac{ln(x+3)}{x^2-2|x|}\]
Για να ορίζεται η συνάρτηση g πρέπει ισχύον οι παρακάτω δύο συνθήκες:
α) x+3>0 \Leftrightarrow x>-3.
και β)
    \begin{align*}           &x^2-2|x| \neq 0 \Leftrightarrow |x|(|x|-2) \neq 0 \Leftrightarrow\\           & |x| \neq 0 \quad \& \quad |x| \neq 2 \Leftrightarrow\\           &x \neq 0 \quad \& \quad x \neq\pm 2        \end{align*}
Από τη συναλήθευση των προηγούμενων περιορισμών προκύπτει ότι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g είναι το σύνολο:
    \[A_{g}=(-3,-2)\cup(-2,0)\cup(0,2)\cup(2,+\infty)\]

Παράδειγμα 3
Δίνεται η συνάρτηση
    \[f(x)= \left\{         \begin{tabular}{ll}          $x^2-3, \quad -5\leq x \leq 1$ \\          $4x-2, \quad 1<x<15$ \\         \end{tabular}         \right. \]
i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f.
ii) Να βρείτε τις τιμές f(-2), f(3), f(1).
iii) Να λύσετε την εξίσωση f(x)=6.
Λύση
i) Η συνάρτηση f ορίζεται στα διαστήματα [-5,1] και (1,15).
Άρα το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f είναι το σύνολο A_{f}=x\in[-5,15)
ii) Έχουμε:
    \begin{align*}           & f(-2)=(-2)^2-3=4-3=1 \\           & f(3)=4\cdot3-2=12-2=10 \\           & f(1)=1^2-3=-2                  \end{align*}
iii) Αν -5\leq x \leq 1, η εξίσωση γίνεται:
    \begin{align*}             & f(x)=6\Leftrightarrow x^2-3=6 \Leftrightarrow x^2=9 \Leftrightarrow             x\pm3            \end{align*}
Η λύση x=3 απορρίπτεται γιατί δεν ικανοποιεί τον περιορισμό -5\leq x\leq 1, ενώ η λύση x=-3 είναι δεκτή.
Αν 1<x<15, η εξίσωση γίνεται:
f(x)=6\Leftrightarrow 4x-2=6 \Leftrightarrow 4x=8\Leftrightarrow   x=2. η οποία είναι δεκτή
Βιβλιογραφία: Παπαδάκης, εκδόσεις Σαββάλα

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου