Τρίτη, 3 Ιανουαρίου 2017

Δύο κύκλοι

Στο παρακάτω σχήμα έχουμε δύο εφαπτόμενους κύκλους $(2, 4)$ και $(14, 9)$. Η κοινή τους εξωτερική εφαπτομένη είναι της μορφής $y = mx + b$, με $m > 0$.
Με πόσο ισούται το $b$?
$A) \dfrac{908}{119}$    $B) \dfrac{909}{119}$   $C) \dfrac{130}{17}$    $D) \dfrac{911}{119}$    $E) \dfrac{912}{119}$
2006 AMC 12A

1 σχόλιο:

  1. Από την υπόθεση και το σχήμα της άσκησης οι κοινές εφαπτομένες των δυο κύκλων είναι οι ευθείες y=mx+b και y=0.
    Αποδεικνύεται ότι η διάκεντρος δυο κύκλων διχοτομεί τη γωνία που σχηματίζουν οι κοινές τους εφαπτομένες.
    Έτσι αν θεωρήσουμε ότι οι ευθείες αυτές σχηματίζουν μεταξύ τους γωνία 2α,η διάκεντρος των δυο κύκλων-με εξίσωση y=5x/12 +19/6-θα σχηματίζει με τον άξονα x'x γωνία α τέτοια ώστε $\tan a=\frac{5}{12}$
    Από τα παραπάνω έχουμε: $\tan 2a=\frac{2\tan a}{1-\tan ^{2}a}=\frac{2 \frac{5}{12}}{1-(5/12)^{2}}= \frac{120}{119}=m$
    Επίσης επειδή η διάκεντρος διέρχεται από τη κορυφή της γωνίας,σημείο (-b/m,0)θα ισχύει:
    $\frac{-5b}{12 m}+\frac{19}{6}=0$
    $b=\frac{38 m}{5}=\frac{38*120}{119*5}=\frac{912}{119}$
    Συνεπώς $b=\frac{912}{119}$

    ΑπάντησηΔιαγραφή