Παρασκευή, 11 Νοεμβρίου 2016

Γύρω από το τραπέζι

Δώδεκα άνθρωποι που συμμετέχουν σε μια συνεδρίαση κάθονται γύρω από ένα στρογγυλό τραπέζι.
Μετά το διάλειμμα κάθονται ξανά στο τραπέζι, αλλά με διαφορετική σειρά.
Αποδείξτε ότι δύο από αυτούς έχουν ίδιο πλήθος ανθρώπων μεταξύ τους πριν και μετά το διάλειμμα (μετρώντας δεξιόστροφα από τον πρώτο προς τον δεύτερο).

2 σχόλια:

  1. Αυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Αριθμούμε τις θέσεις των συνέδρων από 0 έως 11 δεξιόστροφα. Το άθροισμά τους είναι 0+1+2+...+11 = 66 = 6mod12.
    Μετά το διάλειμμα, κάθε σύνεδρος μετακινείται προς τα δεξιά κατά 0 έως 11 θέσεις.
    Υποθέτουμε ότι δεν υπάρχουν δύο σύνεδροι που έχουν το ίδιο πλήθος συνέδρων ανάμεσά τους πριν και μετά το διάλειμμα. Σε τέτοια περίπτωση, δεν είναι δυνατό να υπάρχουν δύο σύνεδροι που μετακινήθηκαν κατά τον ίδιο αριθμό θέσεων. Έτσι, ένας πρέπει να έχει μετακινηθεί κατά 0 θέσεις, ένας κατά 1 θέση, ένας κατά 2 θέσεις,... και ένας κατά 11 θέσεις, οπότε και το άθροισμα όλων των αριθμών των θέσεων μετακίνησης προς τα δεξιά είναι επίσης 66 = 6mοd12.
    Είναι όμως δεδομένο ότι κάθε σύνεδρος θα μετακινηθεί μετά το διάλειμμα πάλι σε κάποια θέση από 0 έως 11 και καθένας σε θέση διαφορετική από κάθε άλλον. Συνεπώς, αν  προσθέσουμε το άθροισμα όλων των αριθμών θέσεων με το άθροισμα όλων αριθμών των θέσεων μετακίνησης, θα πρέπει να πάρουμε αποτέλεσμα επίσης ισότιμο 6mοd12, όσο δηλαδή το άθροισμα των αριθμών θέσεων mοd12. Αλλά 66+66 = 132 = 0mοd12 και όχι 6mοd12.
    Οδηγηθήκαμε σε άτοπο, άρα υπάρχουν πάντα δύο σύνεδροι με το ίδιο πλήθος συνέδρων ανάμεσά τους πριν και μετά το διάλειμμα.
    Παρατήρηση: η πρόταση ισχύει για κάθε άρτιο αριθμό συνέδρων, όχι όμως για περιττό. Π.χ. για 5 συνέδρους σε διάταξη πριν το διάλειμμα 0-1-2-3-4 και μετά το διάλειμμα 0-4-3-2-1.

    ΑπάντησηΔιαγραφή