Τρίτη, 8 Νοεμβρίου 2016

Η άσκηση της ημέρας (9 - 11 - 2016)


  Δίνεται η συνεχής συνάρτηση τέτοια ώστε:
 
 και η γραφική της παράσταση διέρχεται
  από το σημείο

  i. Να βρείτε τα $κ$ και $λ$.

  ii. Αν $κ=1$ και $λ=1$ να βρείτε την $f$.

  iii. Να βρείτε το όριο: 
.

2 σχόλια:

  1. Για x=0 στην αρχική εξίσωση παίρνουμε λ=1.
    Αφού η γραφική παράσταση της f(x)διέρχεται από το σημείο Α(0,1/2) και η f(x) είναι συνεχής ισχύει:$ \lim_{x\to 0}$=f(0)=1/2 (1)
    Λύνοντας την αρχική εξίσωση ως προς f(x) και για λ=1 έχουμε f(x)=$\frac{k sin^{2}x-\sqrt{1+sin^{2} x}+1}{x^{2}}$
    συνεπώς πρέπει να βρούμε εκείνη τη τιμή του k για την οποία θα ισχύει η σχέση (1).
    Χρησιμοποιώντας δυο φορές τον κανόνα του De l'Hospital το $ \lim_{x\to 0}$=(2k-1)/2 και επειδή πρέπει να ισχύει η (1) (2k-1)/2 =1/2
    k=1.
    H f(x) λοιπόν είναι κλαδική συνάρτηση που ισούται με: $\frac{sin^{2}x-\sqrt{1+sin^{2} x}+1}{x^{2}}$ για $x\neq 0$ και με 1/2 για
    x= 0.
    Τώρα όσον αφορά το όριο εύκολα αποδεικνύεται ότι ισούται με 1/2 ως γινόμενο δυο συνεχών συναρτήσεων στο σημείο 0

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Συγγνώμη θα πρέπει να κάνω μια σημαντική διόρθωση:
    Γράφοντας $ \lim_{x\to 0}$ εννοώ $\lim_{x\to 0}$ f(x)

    ΑπάντησηΔιαγραφή