Πέμπτη, 10 Νοεμβρίου 2016

Η άσκηση της ημέρας (10 - 11 - 2016)


 Δίνεται συνάρτηση $f:\Re  \to \Re$ τέτοια ώστε: 
$f(f(x)) + 2f(x) = 4 - x$, $x \in \Re$ και $f(0) = 2$.
 α . να δείξετε ότι η $f$ είναι $1-1$. 
 β . να βρείτε το $f(2)$.
 γ. αν η $f$ είναι συνεχής στο $R$ τότε:
 i. να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ${x_o} \in (0,2)$ τέτοιο
 ώστε 
$f({x_o}) = {x_o}$.
 ii. να βρείτε το $f(1)$.
 iii.να λύσετε την εξίσωση: 
$f({f^{ - 1}}( - {x^2} + 2x) - 1) = 2$.
 δ. αν 
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f(x)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{f(x)}}{x} = k \in ( - \infty ,0)\]
 τότε:
 i. να βρείτε τα όρια 
$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x)$, $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x)$
 ii. να βρείτε το όριο:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } (\sqrt {{f^2}(x) + f(x) + 2}  + f(x))$
 iii. να βρείτε το $k$.

4 σχόλια:

  1. Διόρθωση για τη τιμή του k στο δ) iii,η σωστή τιμή είναι k=-1

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Οι πιθανές απαντήσεις:
    α)-2<f'(x)<0, f(x)γν.φθίνουσα
    β)f(2)=0
    γ) i) x0=1
    ii) f(1)=1
    iii) x=1 (διπλή)
    δ)i) + άπειρο,- άπειρο
    ii)-1/2
    iii)k=-1

    ΑπάντησηΔιαγραφή